美国学校999

美国学校999 数学上有多少真正理解过0.999…等于1的证明

证明方法：我们知道0.999...=1是目前数学界普遍认可的，那么它是怎么来的呢？首先有人不这么认为。

他们认为可以根据运算、特别是微积分的重要极限的结果确定0.99…不等于1。

其实，还有一种简便易懂的证明方法：因1/3=0.333...,而依据等式的基本性质,1/3×3=0.333...×3,1/3×3=1,0.333...×3=0.999...。

所以0.999...=1最简单的“证明”最简单的证明是这样的：1/3 = 0.333...，两边同时乘以 3，1 = 0.999... 。

1998 年，弗雷德·里奇曼（Fred Richman）在《数学杂志》（Mathematics Magazine）上的文章《0.999... 等于 1 吗？》中说到：“这个证明之所以如此具有说服力，要得益于人们想当然地认为第一步是对的，因为第一步的等式从小就是这么教的。

”大卫·托（David Tall）教授也从调查中发现，不少学生看了这个证明之后都会转而开始怀疑第一个等式的正确性。

仔细想想你会发现，“1/3 等于 0.333…” 与 “1 等于 0.999…” 其实别无二致，它们同样令人难以接受。

正如很多人会认为 “0.999… 只能越来越接近 1 而并不能精确地等于 1” 一样，“0.333… 无限接近但并不等于 1/3” 的争议依旧存在。

问题并没有解决。

另一个充满争议的证明编辑大卫·福斯特·华莱士（David Foster Wallace）在他的 《Everything and More》一书中介绍了另外一个著名的证明：令 x = 0.999...所以 10x = 9.999...两式相减得 9x = 9所以 x = 1威廉·拜尔斯（William Byers）在《How Mathematicians Think》中评价这个证明：“0.999... 既可以代表把无限个分数加起来的过程，也可以代表这个过程的结果。

许多学生仅仅把 0.999... 看作一个过程，但是 1 是一个数，过程怎么会等于一个数呢？这就是数学中的二义性⋯⋯他们并没有发现其实这个无限的过程可以理解成一个数。

看了上面这个证明而相信等式成立的学生，可能还没有真正懂得无限小数的含义，更不用说理解这个等式的意义了。

”逐渐靠谱的证明：等比级数具有这么一个性质：如果 |r|[1] 接下来，令a=9，r=1/10，则可以得到：那么我们就又有了一个快速的证明：这个证明最早出现在 1770 年大数学家欧拉（Leonhard Euler）的《代数的要素》（Elements of Algebra）中，不过当时他证明的是 10=9.999... 。

之后的数学课本中渐渐出现了更为形式化的极限证明：1846 年，美国教科书《大学算术》（The University Arithmetic）里这么说：在 0.999... 里，每增加一个 9，它都离 1 更近。

1895 年的另一本教科书《学校算术》（Arithmetic for School）则说：如果有非常多的 9，那么它和 1 就相差无几了。

意外的是，这些“形象的说法”却适得其反，学生们常常以为 0.999... 本身其实是比 1 小的。

随着人们对实数更加深入的理解，0.999... = 1 有了一些更深刻的证明。

1982 年，巴图（Robert. G. Bartle）和谢波特（D. R. Sherbert）在《实分析引论》（Introduction to Real Analysis）中给出了一个区间套的证明：给定一组区间套，则数轴上恰有一点包含在所有这些区间中；0.999... 对应于区间套[0, 1]、[0.9, 1]、[0.99, 1]、[0.999, 1] ... ，而所有这些区间的唯一交点就是 1，所以 0.999... = 1。

弗雷德·里奇曼的文章《0.999... 等于 1 吗？》里则用戴德金分割给出了一个证明：所有比 0.999... 小的有理数都比 1 小，而可以证明所有小于 1 的有理数总会在小数点后某处异于 0.999... （因而小于 0.999... ），这说明 0.999... 和 1 的戴德金分割是一模一样的集合，从而说明 0.999... = 1 。

格里菲思（H. B. Griffiths）和希尔顿（P. J. Hilton）在 1970 年出版的《A Comprehensive Textbook of Classical Mathematics: A Contemporary Interpretation》中，用柯西序列给出了另一个证明。

从未停止过的讨论：尽管证明越来越完备，学生们的疑惑却从来没有因此减少。

在品托（Pinto）和大卫·托教授的一份调查报告中写到，当学生们用高等方法证明了这个等式之后，会大吃一惊地说，这不对呀，0.999… 显然应该比 1 小呀。

在互联网上，这个等式的魅力也依然不减。

辩论 0.999… 是否等于 1 被讨论组 sci.math 评为“最受欢迎的运动”，各类问答网站中也总是会有网友激烈的讨论。

诺贝尔奖获者费曼（Richard Feynman）也用这个等式开过一句玩笑。

有一次他说到：“如果让我背圆周率，那我背到小数点后 762 位，然后就说 99999 等等等，就不背了。

”这句话背后有一个很奇怪的笑点：从 π 的小数点后 762 位开始，出现了连续的 6 个 9，偏偏在这里来一个“等等等”，就会给人感觉好像后面全是 9，这相当于把 π 变成了一个有限小数。

此后，π 的小数点后 762 位就被戏称为了费曼点（Feynman Point）。

教学问题：0.999...=1，这历来是小学生不易接受的一个问题。

每当讲到这个问题，老师总要一再强调0.999...就是等于1。

然而事情过后，大部份小学生的思维又恢复原状：觉得0.999...=1是有问题的。

小学生之所以难于接受0.999...=1这样一个正确的事实，是有其原因的。

分析起来，原因主要有如下三个方面：第一，先入为主的思想作梗。

六年制小学数学课本第八册中，比较小数大小的方法是对有限小数而言的。

由于当时没有出现无限小数，小学生不明确这个比较的适用范围，后来就随意地运用到无限小数的比较上来，所以误认为0.999...=0.9<1。

第二，小学生缺乏辩证思想。

从有限到无限，会发生量变到质变这样的事情，对小学生们说，是很难理解的。

因为他们根本就缺乏小学生哪能接受这样的极限思想！在小学生的眼光里，只能是：“在整数部分是零的情况下，小数点后面不管有多少个9，总还是比1小，而0.999...=1那是书上写的，老师讲的，要我们记的。

”所以，0.999...=1小学生至多只能知其然，无法知其所以然。

第三，教材处理，教法运用上有问题，不能从教材和小学生这两个实际出发，来突破难点。

以上三点原因，第一点可以向学生作补充说明，第二点无法向学生讲授；第三点则是可以做文章的。

这正是写本文的动意。

怎样从教材和小学生的实际出发来抓住关键，突破这个难点呢？我认为从逆向思维原则来考虑问题是可行的。

既然按0.999...=1这个方向来处理学生很难接受，那么我们就反过来考虑，阐明1=0.999...就行了。

在美国，如果老师把学生踩在脚下并连续踹头几十脚会有什么后果？

首先，这位老师会被警察带走，等着他的是被控一级伤害罪，刑期最多25年。

然后，由于被害人是未成年人，他们的父母肯定会对学校，学区或者市政府提起民事诉讼，赔偿金额依据伤势与心理影响从几十万至上千万不等，有很多律师愿意免费打这样的官司拿分成。

最终肯定会用纳税人的钱来赔偿这名学生。

最后，请给我点赞

我手机还保存着一段一个男老师不顾一个小男孩撕心裂肺的哭喊和求饶，将男孩踩在地上用脚踢，用巴掌打的视频，觉的老师做什么都对的人，可以来找我要，如果看完你仍然觉的老师做的对，不好意思。

你也快不是人了