剩余定理

先简单复习一下群和环的基本概念：群：非空集合 G，其实的 二元运算 ∘ : G × G → G 如果满足：结合律：对于任意 a, b, c ∈ G，都有 (a ∘ b) ∘ c = a ∘ (b ∘ c)；则 称 (G, ∘) 为 半群。

如果再满足：有幺元：存在 e ∈ G，使得 对于任何 a ∈ G ，都有 a ∘ e = e ∘ a = a；则 称 (G, ∘) 为 幺半群，e 称为 幺元。

如果再满足：可逆性：对于任何 a ∈ G，都存在 b ∈ G，使得 a ∘ b = b ∘ a = e；则 称 (G, ∘) 为 群，b 称为 a 的 逆元，记为 a⁻¹。

如果再满足：交换律：对于任何 a, b ∈ G，都有 a ∘ b = b ∘ a；则 称 (G, ∘) 为 Abel 群（也称 交换群）。

注：当群的运算 ∘ 被当做乘法看待时，按照代数的习惯，可以省略不写。

环：非空集合 R 上的 分别被称为 加法 和 乘法 的 二元运算 +, · : R × R → R，如果满足：(R, +) 构成 Abel 群；(R, ·) 构成 半群；乘法对加法的分配律：对于任意 a, b, c ∈ R，都有 a(b + c) = ab + ac，(b + c)a = ba + ca；则 称 (R, +, ·) 为 环，为了区分，我们改称 (R, +) 中的 幺元为 零元，记为 0，a 的 逆元为 负元，记为 -a。

如果 环 (R, +, ·) 满足：(R, ·) 构成 幺半群；则称 (R, +, ·) 是 幺环，并将 (R, ·) 的幺元，记为 1。

说 幺环中 某元素 可逆，是对 乘法 而言。

如果 环 (R, +, ·) 满足：乘法交换律：对于任何 a, b ∈ R，都有 ab = ba；则称 (R, +, ·) 是 交换环。

只含有一个元素（必然是 0 ）的环称为 零环。

零环是幺环。

环 (R, +, ·) 中，对于 元素 a ∈ R 若 存在 非零 b ∈ R {0}，使得 ab = 0 或 ba = 0，则称 a 是一个 左或右 零因子。

零元 是 零因子，所有 零因子 不可逆。

称 0 是唯一的 零因子 的 非零交换幺环 为 整环；称 非零因子均可逆的 非零幺环 为 体；称 非零因子均可逆的 非零交换幺环 为 域。

理解理想这需要从正规子群说起。

可以将 群 的 元素之间运算 升级到 群子集 之间， 对于 群 G 的子集 K，L 定义运算：KL = {kl | ∀ k ∈ K, ∀ l ∈ L}特别地， 当 K 或 L 是 但元素集合 {a} 时，分别将 {a}L 和 K{a} 简写为 aL 和 Ka。

群 G 的非空子集 H ⊆ G，如果 在 G 的运算下 构成 群，则称 H 为 G 的 子群。

给定 群 G 的 子群 H，可以定义 G 中任意元素 a，b 之间的关系：a ∼ˡ b 当且仅当 存在 h ∈ H，使得 ah = b这个关系满足：自反性，因为：e ∈ H, ae = a ⇒ a ∼ˡ a；对称性，因为： a ∼ˡ b ⇒ ∃ h ∈ H, ah = b ⇒ ∃ h⁻¹ ∈ H, bh⁻¹ = ahh⁻¹ = a ⇒ b ∼ˡ a；传递性，因为：a ∼ˡ b ∧ b ∼ˡ c ⇒ ∃ h, g ∈ H, ah = b ∧ bg = c ⇒ ∃ hg ∈ H, a(hg) = bg = c ⇒ a ∼ˡ c；因此，a ∼ˡ b 是等价关系。

而容易知道 a ∈ G 的等价类为 aH 被称为 a 的 左陪集，所有等价类的集合 称为 G 的 商集 ，记为 G/∼ˡ。

类似的 还可以定义：a ∼ʳ b 当且仅当 存在 h ∈ H，使得 ha = b同理 a ∼ʳ b 也是等价关系， a ∈ G 的等价类为 Ha 被称为 a 的右陪集，对应的商集为 G/∼ʳ。

现在考虑，依 G 的 子群 H 定义的 等价关系 ∼ˡ （∼ʳ） 所产生的 G 的商集 G/∼ˡ（G/∼ʳ） 在集合运算 下是否构成 一个群？这要保证：G/∼ˡ 中 任意 两个左陪集 之 集合运算结果 仍然是 左陪集 ①如果 ① 成立，则 对于任意左陪集 aH 和 bH ，存在 c ∈ G 使得，对于任意 ah₁ ∈ aH和 bh₂ ∈ bH 都有：ah₁bh₂ = ch₃ ∈ cH ②当 h₁ = h₂ = e 时，② 中等式变为：ab = ch₃故 c ∼ˡ ab，因此 可以 令 c = ab，于是 ② 中等式变为：ah₁bh₂ = ab等式两边 左乘 h₁⁻¹a⁻¹，有：h₁⁻¹a⁻¹ah₁bh₂ = h₁⁻¹a⁻¹abh₁⁻¹eh₁bh₂ = h₁⁻¹ebh₁⁻¹h₁bh₂ = h₁⁻¹bebh₂ = h₁⁻¹bbh₂ = h₁⁻¹b ∈ Hb由于 h₂ 在 H 中的任意性，所以上式相当于：bH ⊆ Hb于是得到结论，如果 ① 成立，则有：G 中 任意元素的左陪集 属于 右陪集 ③同理，可以证明：如果：G/∼ʳ 中 任意 两个右陪集 之 集合运算结果 仍然是 右陪集则有：G 中 任意元素的右陪集 属于 左陪集综上，得出，如果：G/∼ˡ 和 G/∼ʳ 在集合运算 构成 群 ④则有：G 中 任意元素的右陪集 等于 左陪集 ⑤反过来，如果 ⑤ 成立。

对于 G 中 任意元素 b 的左陪集 的 任意 bh₁ ∈ Hb，有：bh₁ = h₂b ∈ Hb对于任意 a ∈ G 的左陪集 aH 中的任意元素 ah₃ ∈ aH，令，h₄ = h₃h₂显然 h₄ ∈ H，根据 ⑤ 必然存在：h₄b = bh₅ ∈ bH于是，对于 aH 和 bH 中任意两个元素的乘积，有：(ah₃)(bh₁) = ah₃h₂b = ah₄b = abh₅ ∈ (ab)H这样就证明了 ① ，确保 G/∼ˡ 在集合运算 构成 群。

而 当 ⑤ 成立 时，显然：G/∼ˡ = G/∼ʳ故，④ 成立。

这就说明： ④ 的 充要条件 是 ⑤。

于是，我们得出最终结论：如果 G 的 H 子群满足，对于任意 a ∈ G 有 aH = Ha；则 G/∼ˡ = G/∼ʳ 在集合运算下 构成 群，成为 商群，并记为 G/H，同时称 H 为 G 的 正规子群。

Abel 群的 子群一定是 正规子群。

然后，引入理想的概念。

和子群类似，如果 R 的非空子集 I，在 R 的 加法和乘法下构成一个环，则成 I 是 R 的子环。

I 是 R 的子环，蕴涵了 I 是 R 的 加法子群，由于 它们是 Abel 群，所以 I 是 R 的 加法正规子群，进而 R/I 在 陪集加运算（任意 a, b ∈ R）：(a + I) + (b + I) = (a + b) + I下构成商群，而且是 Abel 群。

如果，再给 R/I 赋予 陪集积运算：(a + I)(b + I) = ab + I ⑥则，陪集积运算，满足：结合律： ((a + I)(b + I))(c + I) = (ab + I)(c + I) = (ab)c + I = a(bc) + I = (a + I)(bc + I) = (a + I)((b + I)(c + I))分配率：(a + I)((b + I) + (c + I)) = (a + I)((b + c) + I) = a(b + c) + I = (ab + ac) + I = (ab + I) + (ac + I) = (a + I)(b + I) + (a + I)(c + I)于是 R/I 就变成一个环，称为 商环。

如果 ⑥ 成立，则 对于 任意 a + i₁ ∈ a + I 和 b + i₂ ∈ b + I 有：(a + i₁)(b + i₂) ∈ ab + I展开左边得到：ab + i₁b + ai₂ + i₁i₂ ∈ ab + I于是：i₁b + ai₂ + i₁i₂ ∈ I当 i₁, i₂ = 0 时，得到：ai₂, i₁b ∈ I基于 i₁，i₂ 的任意性，可推导出：Ib，aI ⊆ I而基于 a, b 的任意性，可得出：如果 ⑥ 成立，则：对于任意 a ∈ R，有 aI ⊆ I 并且 la ⊆ I ⑦反过来，如果 ⑦ 成立。

对于任意 a + i₁ ∈ a + I， b + i₂ ∈ b + I，有：(a + i₁)(b + i₂) = ab + i₁b + ai₂ + i₁i₂条件 ⑦ 使得 i₁b, ai₂ ∈ I，而本来 i₁i₂ ∈ I，于是 i₁b + ai₂ + i₁i₂ ∈ I，进而：(a + i₁)(b + i₂) ∈ ab + I于是 ⑥ 成立。

综上说明：⑥ 的 充要条件 是 ⑦，我们称满足条件 ⑦ 的 子环 I 为 理想。

正规子群保证了 群的 商集 是 群，理想保证了 环的 商群 是 环。

理解理想生成环 R 中 的子集 M，包含 M 的最小理想 称为 有 M 生成的 理想，记为 (M)。

特别地当 M = {a} 时，将 ({a}) 简写为 (a)，并称由一个元素生成的理想，为 主理想。

如果 一个环中的 所有理想都是 主理想，则称 该环 为 主理想环。

考虑 M 的 生成理想：首先，对于 任意 m ∈ M 一定有 m ∈ (M)。

然后，因为 (M) 是理想，于是对于任意 s，r ∈ R，有 sm，mr ∈ (M)，进而 smr ∈ (M)。

又，因为 (M) 自相加封闭，所以：任意 n 个 m 相加，记为 nm = m + ... + m ∈ (M)，有 nm ∈ (M)；因为 nmr = mr + ... + mr = m(r + ... + r) = mnr，而 nr ∈ R，又基于 r 的任意性，于是 mr 已经包括了 nmr 的情况。

其它 sm 和 smr 类似，也包括了 nsm 和 nsmr 的情况；再，因为 (M) 对加法封闭，所以：nm + sm + mr + smr ∈ (M)最后，考虑到上式中各元素之间的任意性，于是我们得到：(M) = { ∑_{有限} n_im_i + s_jm_j + m_kr_k + s_lm_lr_l |n_i ∈ Z _{≥0} ; m_i, m_j, m_k, m_l ∈ M; s_j, r_k, s_l, r_l ∈ R }如果 R 是幺环，则：sm 令 s = n1 有 sm = n1m = nm，这说明 nm 已经被 sm 包括；smr 分别令 s = 1 或 r = 1，有：smr = 1mr = mr 或 smr = sm1 = sm，所以 sm 后 mr 被 smr 包括 ；综上，我们得到：(M) = { ∑_{有限} s_im_ir_i |m_i ∈ M; s_i, r_i ∈ R }显然 对于幺环 R 来说 (1) = R。

如果 R 是交换环，则：smr = srm 其后 sr ∈ R ，又基于 s 的任意性，于是 sm 已经包括了 smr 的情况；mr = rm 这和 sm 等同；综上，我们得到：(M) = { ∑_{有限} n_im_i + s_jm_j | n_i ∈ Z _{≥0} ; m_i, m_j ∈ M; s_j ∈ R }如果 R 是交换幺环，则有：(M) = { ∑_{有限} s_im_i |m_i ∈ M; s_i ∈ R } ⑧理解中国剩余定理回顾一下 理想的 运算。

考虑，环 R 的理想 I, J 的交 I ∩ J。

对于 任意 a，b ∈ I ∩ J，因为 I，J 是理想，所以 a + b, ab ∈ I，a + b, ab ∈ J 故 a + b, ab ∈ I ∩ J，即， I ∩ J 对加法和乘法封闭，因此 I ∩ J 是 R 的 子环。

又 任何 元素 a ∈ I ∩ J，对于 任意 r ∈ R，因为 I，J 是理想，所以 ra ∈ I，ra ∈ J，故 ra ∈ I ∩ J， 同理 有 ar ∈ I ∩ J，这就说明 I ∩ J 是 R 的 理想。

考虑，环 R 的理想 I, J 的和 I + J。

对于 任意 a₁ + b₁, a₂ + b₂ ∈ I + J，其中 a₁, a₂ ∈ I， b₁, b₂ ∈ J ⑨，有：(a₁ + b₁) + (a₂ + b₂) = (a₁ + a₂) + (b₁ + b₂)，因为 ⑨ 所以 a₁ + a₂ ∈ I，b₁ + b₂ ∈ J 进而 (a₁ + a₂) + (b₁ + b₂) ∈ I + J ，即，(a₁ + b₁) + (a₂ + b₂) ∈ I + J；(a₁ + b₁) (a₂ + b₂) = (a₁a₂ + b₁a₂) + (a₁b₂ + b₁b₂)，因为 ⑨ 所以 a₁a₂ ∈ I， b₁b₂ ∈ J ，又由于 I, J 是理想，所以 b₁a₂ ∈ I, a₁b₂ ∈ J ，于是 a₁a₂ + b₁a₂ ∈ I, a₁b₂ + b₁b₂ ∈ J，所以 (a₁a₂ + b₁a₂) + (a₁b₂ + b₁b₂) ∈ I + J，即 (a₁ + b₁) (a₂ + b₂) ∈ I + J；这就是说明 I + J 对加法和乘法封闭，因此 I + J 是 R 的 子环。

又 任意元素 a + b ∈ I + J，对于 任意 r ∈ R，因为 I，J 是理想，所以 ra ∈ I，rb ∈ J，故 r(a + b) = ra + rb ∈ I + J， 同理 有 (a + b)r ∈ I + J， 这就说明 I + J 是 R 的 理想。

考虑，环 R 的理想 I, J 的（集合）积 I·J。

我们无法保证 I·J 对于 加和乘法封闭，进而 我们不能保证 I·J 是理想，于是我们重新定义，环 R 的理想 I, J 的积 IJ 为 它们作为 集合之积 I·J 的 生成理想，即 IJ = (I·J)。

对于每个 a ∈ I ∩ J，a = a + 0 ∈ I + J，故 I ∩ J ⊆ I + J。

对于 任意 ab ∈ I·J，其中 a ∈ I， b ∈ J，但是 I, J 是理想，所以 ab ∈ I， ab ∈ J 进而 I·J ⊆ I ∩ J 。

再根据 生成理想 的最小性，得出：IJ = ( I·J) ⊆ I ∩ J。

理想的积对于理想的和满足交换律：K(I + J) = KI + KJ，(I + J)K = IK + JK。

对于 幺环 R 中的 理想 I，如果 1 ∈ I，则 对于任意 r ∈ R，有 r1 = r ∈ I，故 R ⊆ I，进而 I = R。

⑴设 R 是 幺环，对于 R 的 理想 I, J，如果：I + J = R则 称 I 和 J 互素。

如果 存在 a ∈ I，b ∈ J，使得 a + b = 1，则 1 ∈ I + J，根据结论 ⑴ ，有 I + J = R。

反过来 若 I + J = R，则 1 ∈ I + J 于是必然存在 a ∈ I，b ∈ J，使得 a + b = 1。

故 ，I 和 J 的充要条件是 存在 a ∈ I，b ∈ J，使得 a + b = 1。

⑵如果 J 与 I₁, I₂ 都 互素，根据 ⑵ 必然存在 a₁, a₂ ∈ J, b₁ ∈ I₁, b₂ ∈ I₂ 使得 a₁ + b₁ = 1, a₂ + b₂ = 1，于是 (a₁ + b₁)(a₂ + b₂) = (a₁a₂ + a₁b₂ + b₁a₂) + (b₁b₂) = 1，其中 a₁a₂ + a₁b₂ + b₁a₂ ∈ J，b₁b₂ ∈ I₁I₂，根据 ⑵ 得出 J 和 I₁I₂ 互素，即， J + I₁I₂ = R，又由于 I₁I₂ ⊆ I₁ ∩ I₂ ⊆ I₁ + I₂，所以 J 和 I₁ ∩ I₂ 或 I₁ + I₂ 也互素。

⑶对于 环 R 中的 理想 I, J 组成的 笛卡尔积：I × J = {(a, b) | a ∈ I，b ∈ J }上定义：加法 (a₁, b₁) + (a₂, b₂) = (a₁ + a₂, b₁ + b₂)乘法 (a₁, b₁) · (a₂, b₂) = (a₁ · a₂, b₁ · b₂)则 (I × J, +, ·) 构成一个环，称为 I 和 J 的直积。

中国剩余定理：设 R 是幺环， I₁, I₂, ..., Iᵣ 是 R 中 两两互素的 理想，则有，R / ( I₁ ∩ I₂ ∩ ... ∩ Iᵣ ) ≅ R / I₁ × R / I₂ × ... × R / Iᵣ要证明这个定理，需要引入，环同态基本定理：对于 从 环 R 到 环 R‘ 的 映射 f: R → R‘，如果对于任意 a, b ∈ R 满足：f(a + b) = f(a) + f(b)f(ab) = f(a)f(b)我们称 f 是 环同态，如果 f 还是 双射，则 称 f 是 环同构，同时也称 R 和 R‘ 同构，记为： R ≅ R‘。

对于 环同态 f: R → R‘，定义：同态像：im f = {f(r) | ∀ r ∈ R}；同态核：ker f = {r | ∀ r ∈ R, f(r) = 0}；环同态基本定理：对于 环同态 f: R → R‘，则有：ker f ≅ im f为了便于理解，见下图：（由于篇幅有限，环同态基本定理的证明略，有兴趣的朋友，请参考《抽象代数》。

）接下来，我们证明中国剩余定理：可以构造 映射，f: R → R / I₁ × R / I₂ × ... × R / Iᵣs ↦ (s + I₁, s + I₂, ..., s + Iᵣ)则，对于任意 a, b ∈ R ，有：f(a + b) = ((a + b) + I₁, (a + b) + I₂, ..., (a + b) + Iᵣ) = ((a + I₁) + (b + I₁), (a + I₂) + (b + I₂), ..., (a + Iᵣ) + (b + Iᵣ)) = (a + I₁, a + I₂, ..., a + Iᵣ) + (b + I₁, b + I₂, ..., b + Iᵣ) = f(a) + f(b)；f(ab) = (ab + I₁, ab + I₂, ..., ab + Iᵣ) = ((a + I₁)(b + I₁), (a + I₂)(b + I₂), ..., (a + Iᵣ)(b + Iᵣ)) = (a + I₁, a + I₂, ..., a + Iᵣ)(b + I₁, b + I₂, ..., b + Iᵣ) = f(a)f(b)；因此 f 是 环同构。

首先，( I₁, I₂, ..., Iᵣ) 是 R / I₁ × R / I₂ × ... × R / Iᵣ 的零元，而，对于 x ∈ I₁ ∩ I₂ ∩ ... ∩ Iᵣ，有 x ∈ I₁， I₂， ...， Iᵣ ，进而有，f(x) = (x + I₁, x + I₂, ..., x + Iᵣ) = ( I₁, I₂, ..., Iᵣ)故，ker f = I₁ ∩ I₂ ∩ ... ∩ Iᵣ然后，由于 任意 Iᵢ (i = 1, 2, ..., r) 与 I₁, ..., Iᵢ₋₁, Iᵢ₊₁, ..., Iᵣ 都互素，则 根据 ⑶ 有 Iᵢ 与 Mᵢ' = I₁ ∩ ... ∩ Iᵢ₋₁ ∩ Iᵢ₊₁ ∩ ... ∩ Iᵣ 互素，于是根据 ⑵ ，则存在 aᵢ ∈ Iᵢ， xᵢ ∈ Mᵢ'，使得 aᵢ + xᵢ = 1，进而 xᵢ = 1 - aᵢ，于是：f(xᵢ) = (xᵢ + I₁, ..., xᵢ + Iᵢ , ..., xᵢ + Iᵣ) = (xᵢ + I₁, ..., 1 - a + Iᵢ , ..., xᵢ + Iᵣ)因为 xᵢ ∈ Mᵢ' 所以 xᵢ ∈ I₁, ..., Iᵢ₋₁, Iᵢ₊₁ ,..., Iᵣ，因为 aᵢ ∈ Iᵢ，所以 - aᵢ ∈ Iᵢ，故：f(xᵢ) = (I₁, ..., 1 + Iᵢ , ..., Iᵣ) = (0 + I₁, ..., 1 + Iᵢ , ..., 0 + Iᵣ)进而对于 任意 sᵢ ∈ R，有：f(sᵢxᵢ) = f(sᵢ)f(xᵢ) = (sᵢ + I₁, ..., sᵢ + Iᵢ , ..., sᵢ + Iᵣ)( (I₁, ..., 1 + Iᵢ , ..., Iᵣ)) = ((sᵢ + I₁)(0 + I₁), ..., (sᵢ + Iᵢ)(1 + Iᵢ) , (sᵢ + Iᵣ)(0 + Iᵣ)) = ((sᵢ0) + I₁, ..., (sᵢ1) + Iᵢ, ..., (sᵢ0) + Iᵣ) = (I₁, ..., sᵢ + Iᵢ, ..., Iᵣ)于是，对于任意 (s₁ + I₁, s₂ + I₂, ..., sᵣ + Iᵣ) ∈ R / I₁ × R / I₂ × ... × R / Iᵣ，都有：x = s₁x₁ + s₂x₂ + ... + sᵣxᵣ则得：f(x) = f(s₁x₁ + s₂x₂ + ... + sᵣxᵣ) = f(s₁x₁) + f(s₂x₂) + ... + f(sᵣxᵣ) = (s₁ + I₁, I₂, ..., Iᵣ) + (I₁, s₂ + I₂, ..., Iᵣ) + ... + (I₁, I₂, ..., sᵣ + Iᵣ) = (s₁ + I₁ + ... + I₁, s₂ + I₂ + ... + I₂, ..., sᵣ + Iᵣ + ... + Iᵣ ) = (s₁ + I₁, s₂ + I₂, ..., sᵣ + Iᵣ)故，f 是满足射，即 im f = R / I₁ × R / I₂ × ... × R / Iᵣ。

最后，根据环同态基本定理，有：R / (I₁ ∩ I₂ ∩ ... ∩ Iᵣ) = R / ker f ≅ im f = R / I₁ × R / I₂ × ... × R / Iᵣ如果 R 是交换幺环，若 理想 I 和 J 互素，根据 ⑵ 则必然存在 a ∈ I，b ∈ J 使得 a + b = 1，于是 对于 任意 s ∈ I ∩ J，有：s = s1 = s(a + b) = sa + sb，由于 s ∈ I ∩ J ∈ J， a ∈ I，故 as ∈ IJ，而 R 是 交换环，故 sa = as ∈ IJ，又由于 s ∈ I ∩ J ∈ I，b ∈ J ，故 sb ∈ IJ，于是 sa + sb ∈ IJ，即，s ∈ IJ这就证明了， I ∩ J ⊆ IJ。

而前面已经证明了， IJ ⊆ I ∩ J，因此得到：IJ = I ∩ J。

于是 在 交换幺环 R 下，环同态基本定理 可写为：R / (I₁ I₂ ... Iᵣ) ≅ R / I₁ × R / I₂ × ... × R / Iᵣ在 主理想整环 D 中， 如果 主理想 (m) 和 (n) 互素，则 根据 ⑵ 必然存在 a ∈ (m) 与 b ∈ (n) 使得 a + b = 1，又因为 D 是整环，所以 D 是交换幺环，根据 ⑧ 有：(m) = { ∑_{有限} s_im | s_i ∈ D } = Dm = mD于是，对于 a ∈ (m) = mD，必然存在 u ∈ D 使得 a = mu；同理，对于 b ∈ (n) = nD，必然存在 v ∈ D 使得 b = nv。

于是有：mu + nv = 1这和《初等数论》中 m 和 v 互素的性质完全相同。

于是 在 主理想整环 中 (m) 和 (n) 互素 等价于 m 和 n 互素。

在 主理想整环 D 中，如果 m₁, m₂, ..., mᵣ 两两互素，则 主理想 (m₁), (m₂), ..., (mᵣ) 两两互素，于是 根据 中国剩余定理，有：D / (m₁)(m₂)...(mᵣ) ≅ D / (m₁) × D / (m₂) × ... × D / (mᵣ) = D / m₁D × D / m₂D × ... × D / mᵣD令 M = m₁m₂...mᵣ ，则 (m₁)(m₂)...(mᵣ) = (m₁m₂...mᵣ) = (M) = MD，于是上式写为：D / MD ≅ D / m₁D × D / m₂D × ... × D / mᵣD对应 环同构为：φ : D / MD → D / m₁D × D / m₂D × ... × D / mᵣDs + MD ↦ (s + m₁D, s + m₂D, ..., sᵣ + mᵣD)对于 任意 mᵢ (i = 1, 2, ..., r)，令 Mᵢ = M / mᵢ = m₁...mᵢ₋₁mᵢ₊₁...mᵣ 则 mᵢ 和 Mᵢ 互素，于是 存在 aᵢ ∈ (mᵢ) = mᵢD, xᵢ ∈ (Mᵢ) = MᵢD 使得 aᵢ + xᵢ = 1，根据上面证明 中国剩余定理 的经验，可知 φ 逆映射为：φ⁻¹ : D / m₁D × D / m₂D × ... × D / mᵣD → D / MD(s₁ + m₁D, s₂ + m₂D, ..., sᵣ + mᵣD) ↦ (s₁x₁ + s₂x₂ + ... + sᵣxᵣ) + MD因为 xᵢ ∈ (Mᵢ) 故可以令 xᵢ = MᵢMᵢ⁻¹, Mᵢ⁻¹ ∈ D (i = 1, 2, ..., r)，于是得到：φ⁻¹(s₁ + m₁D, s₂ + m₂D, ..., sᵣ + mᵣD) = (s₁M₁M₁⁻¹ + s₂M₂M₂⁻¹+ ... + sᵣMᵣMᵣ⁻¹) + MD ⑶另外，aᵢ + MᵢMᵢ⁻¹ = 1，于是有：MᵢMᵢ⁻¹ = 1 - aᵢ 进而，MᵢMᵢ⁻¹ + mᵢD = (1 - aᵢ) + mᵢD = 1 + mᵢD + (- aᵢ) + mᵢD,因为 aᵢ ∈ mᵢD，所以 - aᵢ ∈ mᵢD，故 (- aᵢ) + mᵢD = mᵢD，于是得到条件：MᵢMᵢ⁻¹ + mᵢD = 1 + mᵢD ⑶'在 ⑶ 中，sᵢ + mᵢD 中的元素满足，同余方程：xᵢ = sᵢ (mod mᵢ)而 条件 ⑶' 就相当于：MᵢMᵢ⁻¹ = 1 (mod mᵢ)因此 ⑶ 就等价于 《初等数论》中介绍的 中国剩余定理。

（关于 《初等数论》里的 中国剩余定理，可以参考 我对 问题：“韩信点兵问题公式或口诀是什么？” 的回答。

）（本人数学水平有限，出错在所难免，欢迎各位老师批评指正。

）