洛伦兹变换推导

本文较为硬核，请酌情跳过部分内容。

不过，若是你真对洛伦兹变换感兴趣，我建议你看完全文。

推导洛伦兹变换并不需要非常高深的数学知识，请相信自己，你可以理解这个推导过程。

不过有很多人宣称自己懂狭义相对论，但是他们根本就没见过完整的洛伦兹变换，而且他们知道的那点残缺的洛伦兹变换还是以一种极为丑陋的形式表达的。

至于笔者是否是在哗众取宠，相信各位读者在读完此文之后自有定夺。

本文的主要内容有：你真的见过洛伦兹变换吗？如何优雅地推导洛伦兹变换？如何洞察变化之中的不变？变换：空间与空间变换：空间与时间完整的洛伦兹变换！你真的见过洛伦兹变换吗？这是一个简单的测验：什么，你不知道？或者，你觉得这样的“尺缩效应”和“尺伸效应”是胡扯？那说明现在的你对洛伦兹变换几乎一无所知，你更应该好好读一读这篇文章。

如何优雅地推导洛伦兹变换？既然要推导洛伦兹变换，那必然要从光速入手，光速确实非常特殊。

那么，“优雅”二字从何而来？同样是从光速入手，为光速建立不同的物理图景会让物理公式的推导过程有着云泥之别。

为了建立一个好的物理图景，请各位读者思考一下：光速究竟特殊在哪里？有很多资料会提到光速不随光源的运动而改变，但这纯粹就是一句废话，根本就没抓住重点。

毕竟，声速也不随声源的运动而改变。

想要理解光速的特殊之处，就需要把光速与声速作比较。

说得再全面一点，就是把光波与声波作比较。

请大家注意，要为“波”建立一个正确的物理图景，波通常都是球面波，向四面八方传播。

光波如此，声波也如此。

所谓球面波，就是指波源在同一时间发出的波，都分布在一个球面上。

随着时间的推移，这个球面的半径会越来越大。

可以把这个球面称为波面，波面随着时间推移而扩张，波面向各个方向扩张的速度就是波速。

如果波源静止，观察者也静止，那么波面向各个方向扩张的速度都是相同的，也就是说观察者测量到的各个方向的波速都是相同的。

光波如此，声波也如此。

（这里的静止，是相对于声波的介质静止。

）“重头戏”来了！如果波源静止，观察者向波源运动呢？对于声波，观测者会更早地接收到向它传播的声波，所以他测量到的各个方向的声速不再相同。

而对于光波，光速始终是光速，观测者测量到的各个方向的光速依然是相同的！是时候为“光速不变”建立一个好的物理图景了：无论参考系怎样改变，光波的波面始终是向各个方向均匀扩张的球面。

这就要求不同的参考系之间的变换遵循着某种规则，这种规则就是洛伦兹变换，它可以让“球”依然是“球”。

是时候添加数学了：要让“球”依然是“球”，首先要用数学语言描述“球”。

把球面放在坐标系中，让球心和坐标原点重合：而球面上的点有一个性质，它们到球心的距离都相同。

在坐标系中，它们到坐标原点的距离都相同（这个距离可以用勾股定理计算）。

如果球面的半径是R，那么就可以用一个公式描述球面上的所有点，这也就描述了整个球面。

而光波的波面在扩张，它的半径随着时间推移而增大。

光波波面上的每个点都可以用一组坐标(x,y,z,t)来表示。

每个坐标系都是在特定的参考系中建立的，如果参考系改变，那么坐标系也会跟着改变，光波波面上的点的坐标也都会改变。

旧的坐标和新的坐标之间有一个明确的关系，这个关系就是不同坐标系之间的变换规则，也就是不同参考系之间的变换规则。

在纯粹的数学中，这种变换规则可以随意选择；但是在现实中，只有一种变换规则是可以实现的，那就是可以保证“无论参考系怎样改变，光波的波面始终是向各个方向均匀扩张的球面。

”的变换规则，这种变换规则就是洛伦兹变换，让“球”依然是“球”的变换。

上面这两个公式就是“无论参考系怎样改变，光波的波面始终是向各个方向均匀扩张的球面。

”的数学版本。

请牢记上面加粗这一句话，它已经在本文中出现了三次；也请牢记上面的两个公式，洛伦兹变换的奥秘就隐藏在其中。

如何洞察变化之中的不变？一旦参考系改变，坐标系也会跟着改变，光波波面上某一点的4个坐标（x,y,z,t）也都可以改变，但是光波的波面方程却不变，这就需要我们洞察“变化之中的不变”。

至少要同时改变2个坐标，让它们的变化“相互抵消”，才有可能使光波的波面方程不变。

在4个坐标中任取2个坐标，通过一些恰到好处的参考系变换，就可以只让这2个坐标在参考系改变时发生变化，这将会大大简化问题。

而且，4个坐标都变化时，也可以认为是多次进行 2个坐标的变换的结果！（但愿此刻的你会拍案叫绝。

）这就会有6种选择方案：所以，参考系（坐标系）改变时，我们需要考虑的变换只有两类：空间与空间的变换空间与时间的变换变换：空间与空间（上面这个 *** 作只是为了让问题更明显地呈现出来。

）也就是说参考系的变换只让光波波面上的点的2个空间坐标发生了变化。

这时候就需要借助一些直观的图像了：同一个圆在两个不同的坐标系中的样子都是一样的，那么这两个坐标系之间的变换规则是什么？答案很简单：绕坐标原点转动坐标系，也就是简单的空间转动。

找到圆上某一点的新坐标和旧坐标之间的关系，就找到了具体的变换规则（也就是洛伦兹变换的一部分内容）。

如果转动的半径是R，那么：还可以把这个变换用矩阵表达：矩阵的计算并不复杂，我相信你可以发现规律：由此可以得到3个空间转动变换，分别表示参考系绕z轴、x轴、y轴转动。

（你会喜欢用矩阵表达洛伦兹变换的，它非常清晰、简洁，这才是优雅的表达。

）还记得本文开篇的那个小测试吗？这里的3个变换就是在描述那个“尺缩效应”和“尺伸效应”。

（同时也是想暗示大家，经常被传得神乎其神的“钟慢尺缩”也只是一种测量的错觉。

）虽然这一组变换看起来没那么“高大上”，实际上也只是简单的空间转动，但它们却是洛伦兹变换不可缺少的一部分。

没有空间转动的洛伦兹变换是不完整的，至于这种“不完整”到底对洛伦兹变换有多大的影响，本文的最后会给出答案。

变换：空间与时间依葫芦画瓢，参考系的变换只让光波波面上的点的1个空间坐标和1个时间坐标发生了变化。

它们都是双曲线：情况有些不妙，绕坐标原点转动坐标系不能让双曲线在坐标中的位置不变，注意，这里和圆不一样，如果是圆，把坐标系绕坐标原点转动任意角度，圆在坐标中的位置都不变，但是双曲线不行。

此时就需要一些灵感：这就把双曲线变成了圆！我们可以直接套用空间转动的变换：可以把这个变换称为：洛伦兹推进（Lorentz boost），也可以称其为：伪转动、赝转动、双曲转动。

不过还有一件大事，这个“洛伦兹推进”到底有什么物理意义？为了寻找物理意义，我们只需要知道上面的“洛伦兹推进”只是告诉我们正确的变换公式应该有这样的形式：它与伽利略变换有些联系，都含有时间。

伽利略变换长这样：所以“洛伦兹推进”中暗含的有物理意义的量应该是不同参考系之间的相对速度。

当参考系的相对运动速度v远远小于光速c时，这两个公式是相同的：一个思路是：（没错，就是“猜”，所有的物理公式都是“猜”出来的。

）这样的变换可以保证“球”依然是“球”吗？很可惜，不能。

不过这已经很接近正确的变换了，只是让“球”的尺寸变化了，只要在变换公式中乘一个表示尺寸变化的因子，就可以得到正确的变换：这其实就是经常在各种教科书、科普作品中出现的那种“洛伦兹变换”，你之前经常见到的“洛伦兹变换”其实只是“洛伦兹推进”。

也可以把此时的“洛伦兹推进”写成矩阵形式：相应的，也可以得到3个“洛伦兹推进”，分别表示参考系在x轴、y轴、z轴方向的运动。

只有“洛伦兹推进”的洛伦兹变换也是不完整的，至于这种“不完整”到底对洛伦兹变换有多大的影响，即将揭晓答案。

完整的洛伦兹变换！洛伦兹变换包含6个变换，可以分为2类：3个普通的空间转动3个“洛伦兹推进”并且，3个空间维度和1个时间维度应该被看成一个整体。

3个空间转动：3个“洛伦兹推进”：这6个变换构成了完整的洛伦兹变换！为什么说它完整？因为它们构成了一个洛伦兹群！以下内容过于复杂，笔者也说得过于简略，大家读完之后，能从“不知道自己不知道”达到“知道自己不知道”就可以了。

洛伦兹群是一个广义正交群，含有6个群生成元，也就是上面总结的6个变换，洛伦兹群中的所有元素都可以由这6个生成元衍生出来。

它们是保持闵氏时空原点不变的所有等距变换构成的群。

群论是描述对称性的语言，狭义相对论是物理规律的对称性的产物，了解了洛伦兹群（至少要知道有洛伦兹群这么个概念）才算是真的对狭义相对论有了一些了解。

不要怕面对自己的无知，时刻意识到自己的无知是一种基本的科学素养。

洛伦兹变换是怎样推导出来的？先说结论吧：洛伦兹与洛伦兹变换一毛钱关系都没有！人们被忽悠了！这话很像脑残人士的结论，但是，这却是事实。

目前，本应引领科学发展方向的理论物理学却长期落后于应用物理学。

人们能够利用发现的物质特性发展出日新月异的科技，但对其内在原理争论不休。

也就是“知其然而不知其所以然”。

我们身处在同一个宇宙，却有4种互不相容、观点尖锐对立的物理理论，没有一个理论能够解释宇宙所有的问题。

也就是说，没有一个理论完全正确。

现状是，理论物理学处于百家争鸣的状态。

这给科普来了一个问题，如果人们照本宣科，那踩雷就无法避免，因为人们很难分清哪些是经过科学验证的科学理论，哪些只是假说。

把假说当科学理论来科普，的确是误人子弟。

要解释清楚洛伦兹变换的来龙去脉，就不得不从迈克尔逊-莫雷实验说起，要解释这个实验就需要解释争论了300多年的波动说和粒子说之争。

波粒之争的本质是空间性质之争，空问是空无一物的真空还是由以太这种物质构成呢？波动说建立在以太的基础上，粒子说必须建立在空无一物的真空基础上（惯性粒子在非真空空间会里无法保持速度恒定）。

三个实验科学以客观事实为基础，实验是检验真理之本。

一个实验可以改变科学的发展方向。

一个重要的实验就是一个科学发展史的十字路口，就是一个重要的转折点。

近代科学史上有三个十字路口，波动说和粒子说都在这些路口较力，都希望朝向自己的方向转折。

1.1801年的托马斯-杨的双缝干涉实验，证明了光是波。

而量子力学的理论部分不过是由众多双缝实验的不同解释（非波动说解释）构成。

2.1851年的斐索实验。

实验证明运动的介质会与光速叠加或递减，证明光速可变。

但目前的解释还是100多年前的，即证明了菲尼尔的“以太部分曳引假说”。

问题是，既然有实验证明，以太为什么又被证伪呢？3.迈克尔逊-莫雷实验。

现在的结论是，实验证伪了以太。

事实上，这个实验并不能证伪以太。

因为当时存在三种以太假说，分别是：1.“以太漂移假说”。

以太被认为无所不在，没有质量，绝对静止。

以太作为绝对静止参照系，星体与以太空间会产生绝对运动。

2.菲涅尔的“以太部分曳引假说”。

以太绝对静止，当一个物体相对以太参照系运动时，其内部的以太只是超过真空的那一部分被物体带动。

3.英国物理学家乔治•斯托克斯的“以太完全曳引假说”。

斯托克斯认为把以太分成不动（以太漂移假说）和可动（以太部分曳引假说）的两部分不如假设物体能够完全拖曳一部分以太，在物体表面附近的以太有一个速度逐渐减慢的区域，物体（星体）曳引周围的这部分以太一起运动，而距离物体（星体）更远空间中的以太则完全静止。

即在地球表面，以太与地球具有相同的速度，即地球完全曳引这部分以太。

只有在离开地球表面某一高度的地方，才可以认为以太是静止的。

［爱因斯坦《狭义与广义相对论浅析》，导读第17页］因此，在地球表面附近的以太空间与地球并无相对运动（斯托克斯没能解释物体为什么可以完全拖曳了一部分以太）。

我们知道，以太是经典电动力学的基础，如果以太被证伪，那么经典电动力学就会崩溃。

虽然迈克尔逊-莫雷实验只能证伪“以太漂移假说”，而不能证伪“以太部分曳引假说”和“以太完全曳引假说”，迈克尔逊-莫雷实验根本就不能证伪以太。

但是，学者们也必须对迈克尔逊-莫雷实验作出合理的解释。

当时，物理界的主流学者大都是以太的支持者，如何在承认以太的存在和不放弃伽利略相对性原理的前提下解释迈—莫实验的结果呢？于是，人们提出各种假设来拯救以太。

1.尺缩假说1：1892年，英国物理学家乔治•菲茨杰拉德认为，如果物质是由带电荷的粒子组成，一根相对于以太静止的量杆的长度，将完全由量杆粒子间取得的静电平衡决定，而量杆相对于以太在运动时，量杆就会缩短，因为组成量杆的带电粒子将会产生磁场，从而改变这些粒子之间的间隔平衡。

这一来，迈克尔逊——莫雷实验所使用的仪器，当它指向地球运动的方向时就会缩短，而缩短的程度正好抵消光速的减慢。

2.尺缩假说2：1904年，荷兰物理学家亨德里克•安东•洛伦兹从存在绝对静止以太的观念出发，考虑物体运动发生收缩的物质过程得出洛伦兹变换。

他认为，通过以太的运动物体，纵向线度发生收缩（平行运动方向），其收缩的比例恰好使以太流的影响被抵消。

观察者相对于以太以一定速度运动时，长度在运动方向上发生收缩，抵消了不同方向上由于以太所造成的光速差异。

3.相对性原理法国数学家亨利•庞加莱的思想更为独特。

1898年，他在《时间的测量》中提出没有机械或电磁试验可以区分匀速运动的状态和静止的状态。

他把时间的物理推向极限来解释快速运动的电子的行为。

简单地说，就是让时间变慢。

菲茨杰拉德和洛伦兹的设想很接近，他们认为通过以太的运动物体，纵向线度发生收缩（平行运动方向），其收缩的比例恰好符合迈克尔逊-莫雷实验的计算。

即高速运动的物体在运动方向上的收缩是真实的，尺子真的收缩变短了，来解释迈—莫实验的结果。

事实上，这些解释在逻辑上都不能自洽，因此，都不能使以太摆脱困境。

但是，后来的发展已完全超出了人们的想象。

随着时间的推移，迈克尔逊——莫雷实验成了一个任人打扮的小姑娘，成为一个各方角逐的战场。

洛伦兹变换的本质现在物理界普遍的认为狭义相对论是由爱因斯坦、洛伦兹、庞加莱和闵可夫斯基等人创立的应用在惯性参考系下的时空理论，是对牛顿时空观的拓展和修正。

相对论的“尺缩钟慢”假设建立在洛伦兹变换原理基础之上。

但是，事实并非如此，因为洛伦兹本人对洛伦兹变换并不认同！是不是很奇怪？我们知道，相对论之所以叫相对论，是因为一个惯性系是否存在运动，需要以另一个惯性系互为参照系相对运动。

例如，光速相对于路基、车厢外和密封的车厢内都是光在真空中的速度C=299、792、458m/s。

即真空中光速不变，时间随物体运动速度而改变，这就是狭义相对论的洛伦兹变换。

但是，事实上却存在三个相对论。

除了狭义相对论和广义相对论，经典物理学也有一个相对论，即伽利略相对论，也称伽利略变换，它是经典物理学的逻辑基础之一，也是人类第一个相对论。

经典物理学建立在伽利略变换的基础上。

根据伽利略相对论，物体的运动以空间为参照系来确认的绝对运动。

时间遵守因果律，不随运动变换。

事实上，洛伦兹是支持以太的物理学家，支持伽利略的相对论。

请坐好扶稳！重点来了！洛伦兹的洛伦兹变换和爱因斯坦的洛伦兹变换完全不同！在洛伦兹的理论中，变换所引入的量仅仅看作是数学上的辅助手段，并不包含相对论的时空观。

爱因斯坦与洛伦兹不同相对性原理和光速不变原理，着眼于修改运动、时间、空间等基本概念，重新导出洛伦兹变换，并赋予了洛伦兹变换崭新的物理内容。

请注意，爱因斯坦把与自己观点严重对立的洛伦兹的洛伦兹变换完全修改后，还称为洛伦兹变换！是不是很咬嘴？ 好吧，我们来看看两者的主要差别：1.洛伦兹的洛伦兹变换建立在以太的基础上，爱因斯坦的洛伦兹变换建立在真空的基础上。

庞加莱和洛伦兹的理论都是用以太作为理论的基础。

庞加莱认为：除了电子和以太就再也没有什么东西了。

洛伦兹从1875年直到逝世都言必称以太，以太是他的电子论的基石，尽管他一度剥掉了以太的实体内容，但仍然保留了以太绝对静止的性质。

［《狭义与广义相对论浅析》，导读第24~25页］两种理论是两个完全不同的思想体系。

2.前者是动力学理论，后者是运动学理论。

洛伦兹的尺缩效应的收缩是绝对的、真实的。

而在相对论中，物体（物质）长度并没有真的变短，体积并没有真正收缩。

所谓的‘尺缩效应’只是从坐标变换得出的结果。

简单地说，而爱因斯坦的‘尺缩钟慢’现象只是视觉上的错觉，尺子并没有真正收缩变短。

3. 两种理论的变换式的来源、形式和意义不同。

洛伦兹的变换式是为了数学在方便而先验引入的……而相对论的变换式却是从两个公理中直接推导出来的彻底否定了绝对时间、绝对空间（和绝对运动）以及时间和空间毫不相干的传统观念。

［《浅析》导读第26~27页］ 4. 两种理论对时间的认知有根本的区别。

洛伦兹认为：因为必须变换时间，所以引入了当地时间的概念，它在相互运动的不同坐标系中是不同的。

但是我从没认为它与真实时间有任何联系。

对我来说真实时间，仍由原来经典的绝对时间概念表示，它不依赖于参考特殊的坐标系。

在我看来仅存在一种真正的时间，那时，我的时间变换仅看作是一个启发性的假设，所以相对论，完全是爱因斯坦的工作。

”［《浅析》导读第27页］庞加莱和洛伦兹的时间依然是经典物理学的绝对时间概念，时间依然遵守因果律。

而爱因斯坦的相对论却不遵守时间因果律，时间和空间刚性的关联使时间随着空间的变化而变化。

洛伦兹的电子论只不过是经典物理学的合理外延，爱因斯坦的相对论却是抛弃经典理论框架后创立的新体系。

［《浅析》导读第27页］综上所述，一个建立在以太的基础上，一个建立在真空的基础上，一个时间不变，一个可变，两者具有本质上的区别，可以说水火不相容的两种思想体系。

洛伦兹至死都对相对论持怀疑态度，这个所谓的洛伦兹变换与洛伦兹毫无关系，相对论的洛伦兹变换应该改称为爱因斯坦变换。

为什么狭义相对论用的是洛伦兹的名义来命名自己的理论呢？我们知道，洛伦兹近代卓越的理论物理学家、数学家。

当时，他可是物理界的泰斗，建立了经典物理学的电子论。

受麦克斯韦的电磁理论的启发，他认为电具有“原子性”，电的本身是由微小的实体组成的。

后来这些微小实体被称为电子。

洛伦兹认为一切物质分子都含有电子，阴极射线的粒子就是电子。

他从电子论推导出运动电荷在磁场中要受到力的作用，即洛伦兹力。

把物体的发光解释为由原子内部电子的振动而产生。

当光源放在磁场中时，光源的原子内电子的振动将发生改变，使电子的振动频率增大或减小，导致光谱线的增宽或分裂。

洛伦兹力把以太与物质的相互作用归结为以太与电子的相互作用。

这一理论成功地解释了塞曼效应，与塞曼一起获1902年诺贝尔物理学奖。

而当时，爱因斯坦只是初出茅庐的新秀，如果拉上物理界的泰斗，自己的理论的可信度就完全不同。

也就是说，当时，爱因斯坦是沾了洛伦兹的光。

但是，当相对论被推上神坛时，当年的新秀也成了物理界的泰斗，知名度远远超过了洛伦兹，现在的人们反而认为是洛伦兹沾了相对论的光，这是让人哭笑不得。

回到最初的问题，洛伦兹变换是怎样推导出来的？答案是，从真空中光速不变为基础是推导出来的。

问题是，真空中光速不变“原理”是怎样推导出来的？答案是从火车与路基的相对运动推导出来的。

问题又来了，火车是狭义相对论的惯性系，路基是标准的惯性系吗？事实上，两个匀速运动的火车车厢才是标准的惯性系。

为什么爱因斯坦不用两个匀速运动的火车车厢来推导相对运动呢？两个匀速运动的火车车厢的相对运动推导出的完全是另一个结果（详见《一只大象》）。

还有，地球上是空无一物真空吗？建立在真空中光速不变的理论可以解释非真空的地球上的自然现象吗？ 一个理论是一个完整的逻辑体系。

洛伦兹变换是狭义相对论和广义相对论的逻辑基础，因此，洛伦兹变换是怎样推导出来的这个问题看似简单，真要详细解释，就必须从头谈起，没有一本书的篇幅是很难解释清楚的。

科学是求真！求实！追求真相！前提是，我们不能掩耳盗铃，回避事实。

限于篇幅，今天只能回答洛伦兹变换是爱因斯坦自己推导出来的，与洛伦兹无关！洛伦兹无关！洛伦兹无关！