关于横截性介绍

[拼音]：hengjiexing

[外文]：transversality

微分拓扑学中一个重要概念，是对空间中两个对象处于一般位置的数学刻画。人们是怎样理解“一般位置”的呢？如令它的对立概念是“特殊位置”，通常感到:处于特殊位置的两个对象做适当的微小变动后，就处于一般位置，而处于一般位置的两个对象做随意的微小变动后仍处于一般位置，考察平面R2中两条曲线с1，с2，它们的相对位置如图

所示。

讨论两条曲线相交情况时，容易看出在图a、c、d中，当曲线做微小变动时，原先相交的变动后仍相交，原先不相交的变动后仍不相交，而图b中的两条曲线却不具有此性质。于是自然会想到图 a、c、d中的曲线是一般位置，图b中的曲线是特殊位置。还有一种更有意义的区分方法，把图a、d中的曲线看成是一般位置，而把图b、c中的曲线看成是特殊位置。这种方法是用横截性来区别的。图a、d中的曲线具有这样的性质：两条曲线或者不相交，或者带有非零交角的相交，这就是数学术语中的“横截”。横截概念严格定义如下：

设ƒ:M→N是可微映射，其中M，N是微分流形，又设S是N的子流形。如果对于任意x∈M，y=ƒ(x∈S，并对于y点处任意N的切向量Y，必可写成Y=ƒX+Z，其中Z是y点处S的切向量，X是x点处M的切向量，ƒX是将X“搬到”N上而得的向量，上面所述性质成立就说ƒ横截于S。简单地说，ƒ(M)与S横截。

有了上述横截的概念，便不难证明：横截性在ƒ做微小改变时保持不变，不横截的ƒ可经适当小变动变为横截。微分拓扑学中如浸入，具有非退化奇点的函数等等概念，皆可在适当的陈述下表现为上面定义的横截性。

横截性的概念看起来简单，可是能从数学里广泛出现的现象中抽象出这样的概念，并巧妙地运用此概念解决新的数学问题，决非易事。这应归功于20世纪50年代初R.托姆的工作。