关于构造性数学介绍

[拼音]：gouzaoxing shuxue

[外文]：constructive mathemetics

现代数学研究的一个重要领域。在数学的讨论中，常把能具体地给出某一对象或者能给出某一对象的计算方法者称之为可构造的。类似地，把能证实“存在一个x满足性质A”的证明称为构造的是指能从这个证明中具体地给出满足性质A的一个x；或者能从此证明中，得到一个机械的方法，使其经有限步骤后，即能确定满足性质A的这个x来。反之，也常把数学中的纯存在性证明（见构造逻辑）称之为非构造的。非构造性的证明，是应用反证法来证明，即通过证明如果否定一命题A则将导至矛盾，从而肯定原命题A。这种通过矛盾进行证明是以亚里士多德逻辑的排中律为基础的。这种方法在近代数学中是常见的。人们把坚持主张：“要证明一个数学对象存在，必须指出这个对象是怎么构造出来的”这种数学研究称之为构造性数学。

“构造性”一词迄今尚无完全的严格定义（见递归论），各个学派之间对这一概念的理解亦有所不同。但是，总的倾向是明确的，如：主张自然数及其某些性质（特别是数学归纳法）是数学最根本和直观上最可靠的出发点，其他一切数学对象则必须是能从自然数构造出来的，等等。例如，

命题 存在无穷多个素数。

证明1：（欧几里得的证明）

（1）设{p1，p2，…，pn}为任一有穷的素数集合。

（2）考虑一个显然不能被诸素数p1，p2，…，pn中之任何一个整除的数：p1×p2×…×pn+1。这个数或者本身就是素数，或者可以被另一异于p1，p2，…，pn的素数p所整除。

（3）不论是那一种情况，都必定存在一个不属于 p1，p2，…，pn中之一的素数。因此，素数集合不是有穷的。

证明2：（现代证明）

（1）假设命题不成立，亦即只存在有穷多个素数 p1，p2，…，pn。

（2）考虑一个显然不能被素数p1，p2，…，pn中任何一个整除的数p1×p2×…×pn+1。这个数或者本身是素数或者可被另一异于p1，p2，…，pn的素数p整除。

（3）无论那种情况，必定存在不是集合{p1，p2，…，pn}的一部分的一个素数。这与假设矛盾。因而假设不成立。所以，根据排中律这个素数集合是无穷的。

在上述命题的两证明中，证明1是构造性证明，它表明对任一素数的有穷集都存在着更大的一群素数。而证明2则是非构造性证明，它基于排中律证明了存在真正的无穷多个素数的集合。类似地，诸如命题“对于任意给定的二整数必存在最大公因数”的欧几里得证明就是构造的，而对命题“存在不可数个超越数”的康托尔证明就是非构造的。

构造性数学的理论研究可以溯源到康德时期。康德认为：数学的最终真理性在于数学概念，可以通过人的智慧构造出来。而在历史上第一指出实无穷与潜无穷的原则区别的则是C.F.高斯。他不主张采用实无穷。L.克罗内克则进一步提出：“上帝创造了整数，其余都是人的工作。”他与其后的（J.-）H.庞加莱、L.E.J.布劳威尔都是否定实无穷，主张潜无穷，都提倡构造性的数学研究，其中尤以布劳威尔持论最为极端。迄今，在构造性数学的研究领域里，由于宗旨、观点和方法的不同，随着历史的发展，已经形成了一些不同的学派。

（1）最著名的构造性数学研究应推布劳威尔、A.海丁等的直觉主义数学。布劳威尔的直觉主义数学观是与其直觉主义的哲学观密切相关的（见数学基础）。直觉主义者基于它的可信性标准：“存在即被构造”，故必然坚持构造性的数学研究。他们的研究起点是自然数论而非集合论，对直觉主义数学而言，自然数是基于“原始直觉”用构造性方法产生的。为了克服由于悖论而引起的数学基础危机（见悖论）而提出了直觉主义数学的主张；他们认为：悖论的出现不是偶然事件，数学基础危机，不能通过技术性修补或限制得到解决；他们极端地排斥实无穷，否认传统逻辑（尤其是排中律）的普遍有效性，因而古典数学中一切据以为前提的非构造性定义和论证（如许多纯存在性证明）都是不能接受的，应予排除；他们主张彻底的潜无穷，重建直觉主义逻辑；他们要求全面批判古典数学，否定其中大量的非构造性成果（如ω0以上的超穷集；连续函数的中间值定理），重建直觉主义的构造性数学。为此，他们曾就直觉主义集合论、直觉主义分析学进行了不少的工作，但由于限制过大，只承认一部分最保险的数学，过多地否定了非构造性成果从而过多地抛弃了合理因素，又无从解释它们在应用上的有效性，因此，直觉主义的排除悖论，重建数学的主张遭到了相当多的批评（包括其他的、亦是从事构造性数学研究的数学家如希尔伯特等人的批评）。但是，由于构造性的研究是很引人注目的方向，而布劳威尔本人是一位拓扑学家，又是历史上第一个完全而又彻底地从数学和哲学两个方面贯彻和发展了“存在即被构造”的直觉主义口号的代表人物，故曾经吸引不少的追随者例如外尔等。他所开创的直觉主义逻辑和直觉主义数学迄今亦不失为20世纪的一种新见解和新方法，他们的活动也确实推动了一些新课题的研究和新知识的出现，故而影响较大，在构造性数学诸分支中最为著名。

（2）希尔伯特的元数学亦是一种构造性数学（见希尔伯特计划）。D.希尔伯特与布劳威尔不同，他是承认实无穷的，并且他的证明论计划是旨在保卫古典数学成果，排除悖论，重建数学基础。根据希尔伯特的数学可信性标准，古典数学的可信性就在于它的协调性。因此，他首创元数学（即证明论），想从而建立古典数学协调性的绝对证明。虽则由于K.哥德尔的不完备性定理指明这个计划是不能实现的。但是，他在计划中所创立的元数学方法却有重要的方法论意义。也就是说，希尔伯特企图把有穷主义观点下的构造性与涉及实无穷的“理想元素”在应用上的有效性统一起来，这一愿望虽然不能实现，但是，他所倡导的以有穷主义为特征的构造方法仍然是一种重要的构造性数学研究，并为他的弟子P.贝尔奈斯和其后的G.克赖泽尔所继续和发展。

（3）另一种几乎同直觉主义数学齐名的构造性数学则是近年来E.毕晓普、J.迈希尔、J.德克尔和A.尼罗德所代表的新方向，他们的构造性数学研究是在数学领域中，用普通逻辑于可编码的对象和递归函数。他们所关心的，不是去解决数学奠基问题，而是要用构造性方法来研究数学。他们把构造性数学看成古典数学的一个分支，在这个分支中所讨论的对象（个体或映射）都要求是可计算的。以毕晓普的工作为例：他认为只证明一个数学对象在逻辑上必然存在是不够的，还必须拟定一种有限而机械的办法把这个对象构造出来。他不用非直观的概念来重建数学，而是从标准的算术规则和有理数出发，通过避开“理想”观念并不断地检验从直观生成的对象和定理，逐步地进行构造，以求得数学的可信性。他与布劳威尔不同，他不去全盘地否定康托尔的集合论，而是把它加以改造，使之具有构造的合理性。例如：确定一个集合，原来康托尔的朴素定义只要求给出一个判别集合中元素的规则即可。而毕晓普认为还应要求拟定出一个办法来真正构造集合的一个元素并证明集合中两个元素是不同的。这样，则可使康托尔集合论中的一条最有争议的公理──选择公理成为完全可以接受的了，如此等等。他们把古典数学的基本概念算法化，并从而考虑哪些定理在构造意义下仍然成立，哪些定理不能成立以及如何改造等，由此发展出相当大的一部分有价值的数学。例如构造分析即为一例。

（4）苏联的 Α.Α.马尔可夫与 N.A.沙宁的构造性数学的研究则是以算法概念为基础的。他们完全排除实无穷，采用构造逻辑系统地重建数学。他们对构造分析学作了相当深入的研究。对于许多数学分支的算法化以及制定构造逻辑的语义学都作了很可观的工作。尤其是马尔科夫的正规算法给直观的算法概念提供了一个精确的数学描述。它是现有的少数几种算法概念精确化的方案之一。

直觉主义的数学观必然要求坚持构造主义的数学研究。反之则不然。一般的构造性数学研究者（包括布劳威尔的一些追随者）并不一定赞同布劳威尔的哲学思想和数学观。而且恰好相反，常常是有所批评的。尤其是对布劳威尔的“原始直觉”批评较多。但是，包括希尔伯特在内的构造数学研究者也都从布劳威尔那里吸收了不少构造论的思想。一般的构造性数学研究者（除了布劳威尔等少数的直觉主义数学研究者以外）都不否定非构造的数学成果。

近年来构造性数学的研究甚为引人注目，构造性成果不断涌现，这就说明在某些情况下用这种观点来研究问题常常是大有裨益的。在许多情况下，构造性的方法与存在性的方法常常是同样地有效。构造性的研究不仅可以得出较为新颖、较为深刻的见解，而且构造性的成果更便于应用。众所周知，提供解答毕竟比纯存在性地证明有解要有意义得多。当一个数的存在能构造地证明时，那么这个数不仅在理论上，而且实际上就可以计算出来。联系到计算机科学已经蓬勃发展，这种构造性数学的研究更有其深远意义。

由于构造性数学要求远较非构造性数学严格，所以对于构造性数学成立的每一定理对于非构造性数学也成立，因而构造性数学可以简单地看成非构造性数学的一个分支。一般都认为直观和逻辑是数学能力的两大来源。而直观尤为重要。如能充分注意构造性数学的学习和研究会有助于数学教育并有助于推动这两者之间的较为合理的平衡，更有助于理性思维的开发。