关于三角级数介绍

[拼音]：sanjiao jishu

[外文]：trigonometric series

一种特殊的正交函数级数。形如的级数称为正交函数级数，其中сn是和x无关的实数，{φn(x)}是在某固定区间[α，b]上正交的函数系，特别当正交函数系是[0，2π]上的三角函数系时，相应的级数可写作

(1)

称为三角级数。 式中αn(n=0，1，2，…)和bn(n=1，2，…)是与x无关的实数，称为三角级数(1)的系数。

三角级数(1)还可以写成下面复数形式的级数：

(2)

式中系数 （叿n表示сn的共轭复数）。级数(2)的部分和Sn理解为

如果三角级数(1)对一切实数x都收敛，那么(1)表示了实数轴上的一个周期为2π周期函数ƒ(x)，即ƒ(x+2π)=ƒ(x)对一切x∈(- ∞，∞)都成立。这是因为(1)中每一项都是周期为2π的周期函数。但是实际问题往往是，对给定的函数ƒ，如果它是具有周期2π的周期函数，需要把它表示成三角级数(1)。19世纪初，法国科学家J.-B.-J.傅里叶在研究热的流动时，为了求解热方程，首先就提出了这个想法。他的设想，虽然从现在的观点看，缺乏理论的严谨性，但却是人们对三角级数进行研究的出发点，对于近代数学以及物理、工程等许多学科都有着深远的影响。

如果三角级数(1)一致收敛于连续函数ƒ(x)，那么用coskx或sinkx去乘级数(1)，再在区间(0，2π)上进行积分，注意到逐项积分的可能性，就得到系数αn，bn与函数ƒ的关系式：

(3)

公式(3)表达的系数αn，bn称为函数ƒ的傅里叶系数，以ƒ的傅里叶系数为系数的三角级数就称为ƒ的傅里叶级数。上面的事实说明：一致收敛于函数ƒ的三角级数必为ƒ的傅里叶级数。

对于给定的周期函数ƒ(x)，如果ƒ是可积的，那么从(3)式仍然可以得到αn，bn，从而得到相应的傅里叶级数(1)。这就建议人们去研究ƒ 的傅里叶级数是否收敛于ƒ以及有关的许多问题。从19世纪到现在，傅里叶级数的理论逐步得到建立，已成为三角级数理论中的一个基础分支，也是一个具有广泛应用的工具学科（见傅里叶级数）。

傅里叶级数的性质，由函数ƒ可以通过(3)进行研究。自然要问，任意的三角级数(1)，是否为某函数的傅里叶级数呢？这个问题的答案是否定的。因为根据傅里叶系数的性质，傅里叶系数αn，bn必须满足条件

由此可知系数不趋于0的三角级数不可能是傅里叶级数，例如是三角级数，而不是傅里叶级数。

那么系数αn，bn趋于0的三角级数(1)，是否为傅里叶级数呢?下面的例子说明，它的系数趋于0，而且级数处处收敛于某函数ƒ(x)，但因

在原点附近不可积，公式(3)不成立，所以上述三角级数不可能是ƒ(x)的傅里叶级数。进一步可以证明，上述级数不可能是傅里叶级数。

三角级数(1)的共轭级数是

(4)

(1)和(4)分别是单位圆(｜z｜≤1)内幂级数

(5)

当z=eix(x为实数，i为虚单位)时的实部和虚部。所以三角级数(1)和它的共轭级数(4)的性质正好反映了幂级数(5)表示的解析函数在单位圆边界附近的性质。

值得注意的是，傅里叶级数的共轭级数未必是傅里叶级数。例如，级数

是傅里叶级数，而它的共轭级数却不是傅里叶级数。但是可以证明，如果级数(1)是某函数ƒ的傅里叶级数，并且|ƒ|p是可积的，其中p>1，那么它的共轭级数(4)也是傅里叶级数。

一般的三角级数，由于不存在关系式(3)，因此增加了它的复杂性。到目前为止，人们对它的了解还是十分初步的。值得注意的是，三角级数往往可以提供许多奇特的函数，这对数学理论的基础研究，有着重大的意义。

例如，用所谓F.里斯的无穷乘积

(6)

逐项乘得的三角级数，只要正整数nυ满足条件且系数那么(6)乘得的三角级数几乎处处收敛于0，而它的系数却不全为0。

又例如缺项很多的三角级数

(7)

当它的缺项满足条件时，称为阿达马缺项三角级数。它具有很奇特的性质：要么几乎处处收敛于一个平方可积函数，要么几乎处处不收敛，如属后者，则它不是傅里叶级数。

中国在三角级数方面开展研究最早的是陈建功。他从1928年开始就在日本《东京皇家科学院学报》发表关于正交函数级数的文章，他于1930年在日本岩波书店出版的《三角级数论》是国际上三角级数论方面较早的专著之一。