关于行列式介绍

[拼音]：hanglieshi

[外文]：determinant

重要的数学概念和工具之一。它来源于求解线性方程组。由n2个元素（数）αij(i，j=1，2，…，n)排成n行n列并写成

(1)的形式，它表示所有符合以下条件的项的代数和：

（1）每项是n个元素的乘积，这n个元素是从(1)中每行取一个元素、每列取一个元素组成的，可记为

，式中p1，p2，…，pn是1，2，…，n的一个排列。

（2）每项应带正号或负号，以1，2，…，n的顺序为标准来比较排列(p1p2…pn)的逆序数是偶或奇而决定。例如三阶行列式中的项 α12α23α31排列(231)有2个逆序，即2在1之前；3在1之前，所以α12α23α31应带正号；而α12α21α33中(213)的逆序为1，因为这时只有2在 1之前，所以应带负号。

(1)称为n阶行列式，有时简记为｜αij｜，其中αij称为第i行第j列上的元素或元;当i=j时即αii，称为主对角线(α11α22…αnn)上的元。

因为n个元的所有排列共有n！个，所以｜αij｜共有n！个项。由此可知，

式中是对1，2，…，n的所有排列取和，±符号按上述规则确定。例如，

行列式有多种定义方式，实质上不同的大致有三类：除上述的完全展开式定义外，常见的还有归纳定义和公理化定义等。

任一行列式都有以下性质：

（1）行列式A中某行(或列)用同一数k乘，其结果等于kA。

（2）行列式A等于其转置行列式AT(AT的第i行为A的第i列)。

（3）若n阶行列式|αij|中某行 (或列) 则｜αij｜是两个行列式的和，这两个行列式的第i行(或列)，一个是b1，b2，…，bn；另一个是с1，с2，…，сn；其余各行（或列）上的元与｜αij｜的完全一样。

（4）行列式A中两行（或列）互换，其结果等于-A。

（5）把行列式A的某行（或列）中各元同乘一数后加到另一行（或列）中各对应元上，结果仍然是A。

简单的行列式根据定义或基本性质容易计算。一般方法是把它按行（或列）展开化为低阶行列式来计算。如n阶行列式A按第i行（或列）展开：

式中是从|αij|中划去第i 行和第j列后得到的行列式即n-1阶子式，称为αij的余子式；Aij称为αij的代数余子式。在上式中把 Ait(或Ati)换成Ajt(或Atj)，i≠j，即第i行(或列)中各元与第j行（或列）中各元的代数余子式相乘，其结果为零。以上结果可综合写成：

式中δ是克罗内克符号。δ 表示当i=j时，δij=1，i≠j时，δij＝0。

上面是按某一行(或列)展开，还可以按某几行（或列）展开。在n阶行列式A中取定某k(1≤k≤n)个行（或列），则在这k个行(或列)中的所有k阶子式分别与它的代数余子式的乘积的和为A。这就是拉普拉斯展开式。它由a.-l.柯西于1812年首先证明。

k阶子式的代数余子式是上述 1阶子式αij的代数余子式Aij的推广。设N是从n阶行列式A中划去(n-k)个行和(n-k)个列得到的k阶子式，M是从A中划去N所在的行和所在的列得到的（n-k）阶子式，则M称为N的余子式。如果N 所在的行是i1，i2，…，ik，所在的列分别是j1，j2，…，jk，那么称为N 的代数余子式。A自身的余子式规定为1，所以A的代数余子式也是1。若子式N 所在行的序数与所在列的序数相同，则N 称为主子式。

某些行列式用拉普拉斯展开式计算非常方便。例如，2n阶行列式

用数学归纳法可以证明范德蒙德行列式

显然，一个范德蒙德行列式为零的充分必要条件是x1，x2，…，xn中至少有两个相等。

根据拉普拉斯展开式，两个 n阶行列式｜αij｜与｜bij｜的乘积是n阶行列式｜сij｜，即

式中

设A＝｜αij｜是一n阶行列式，则A的伴随行列式是

式中Aij是αij的代数余子式。

克莱姆规则是用行列式求解线性方程组的一种方法。设有线性方程组

(2)如果它的系数行列式

那么它有惟一解

xi=Di/D (i=1，2，…，n)， (3)式中Di是将D中第i列中元素αi1，αi2，…，αin分别用b1，b2，…，bn替换得到的行列式。

平面解析几何中过两点(x1，y1)和(x2，y2)的直线方程可用行列式表达如下：

三条直线两两互异，交于一点的充分必要条件是

以(x1，y1)、(x2，y2)和(x3 ，y3)三点为顶点的三角形的面积是

的绝对值。特别地，以(0，0)、(x1，y1)、(x2，y2)为顶点的三角形的面积是

的绝对值。因此以向量(x1，y1)、(x2，y2)为边的平行四边形的面积是

的绝对值。这一结论可以推广为:n阶行列式(1)的绝对值可以看作是n维欧几里得空间中以n个向量(αi1，αi2，…，αin)(i=1，2，…，n)为边所张成的超平行六面体的体积。此亦即行列式(1)的几何意义。

设n维欧几里得空间中有一个变换

函数行列式

称为雅可比行列式。当J≠0时，则下面的积分变量变换公式成立：

式中G是n维欧几里得空间内有确定面积的有界域，B是G的像。雅可比行列式给出了体积元和之间的联系

它在隐函数论的研究中也是不可缺少的。

上面行列式|αij|中的元 αij假定都是数；如果αij都在一个域中，上面得到的结果仍能成立。1943年，迪厄多内发表了《非可换体行列式》一文，在非可换域即体上建立了所谓非可换行列式理论，大致具备上述行列式基本性质，并把克莱姆规则推广到系数是体中元素的线性方程组上。

历史上，最早使用行列式是在17世纪g.w.莱布尼茨与g.-f.-a.de洛必达时代。后来G.克莱姆于1750年发表了著名的克莱姆规则。A.-L.柯西于1841年首先创立了现代的行列式概念及其符号，但他的某些思想却来自C.F.高斯。