关于d性力学介绍

[拼音]：tanxinglixue

[外文]：elasticity

研究d性体的机械运动的科学。d性体是变形体的一种，它的特征为：在外力作用下物体变形，当外力不超过某一限度时，除去外力后物体即恢复原状。绝对d性体是不存在的。物体在外力除去后的残余变形很小时，一般就把它当作d性体处理。变形体力学和刚体力学不同之处在于：变形体力学除了讨论构成物体的各质点相对于惯性参照系的运动状态外，还要讨论物体内部各质点间运动状态的变化。

d性力学是在材料力学的基础上发展起来的。材料力学的研究对象是杆件（物体的长度比横截面的最大尺度大得多）。而d性力学的研究对象不仅是杆件(一维)，还包含二维和三维的问题。d性力学从理想d性、连续等基本假设出发，根据力学和物理学的基本定律，建立起相应的理论，并广泛地应用于工程设计。

发展概况

d性力学的发展大体分为四个时期。

约从R.胡克实验(1660)开始到C.-L.-M.-H.纳维和A.-L.柯西提出d性理论的基本方程(1820)之前的一段时期里，力学工作者还没有一套成熟的d性理论，因此，这个时期内的主要工作是实验。由这些实验结果的综合，决定了各种材料的d性模量(或杨氏模量)。除实验外，人们用最粗糙的、不完备的理论来处理一些简单构件（一维的）的力学问题。这些理论在后来都被指出有或多或少的缺点，有些甚至是完全错误的。

一般是指自纳维和柯西提出d性理论的基本方程起，到G.格林和W.汤姆孙(即开尔文)确定d性系数为21个止(1821～1855)。1820年纳维首先根据分子运动论的观点研究了d性力学的理论基础，他的结果对于各向同性体而言只有一个d性系数。柯西在同一时期(1820～1822)用宏观的方法研究了各向同性的d性理论，指出各向同性的d性体应有两个独立的d性系数。在1822～1828年间，柯西和S.-D.泊松又根据分子间的相互作用证明：在最普遍的情况下，独立的d性系数只有15个；而在各向同性体内只有一个。但是经后来的实验证明，这个结论和实际不相符。1838年，格林根据能量守恒定律指出，最一般的各向异性d性体，应有21个独立的d性系数；此后W.汤姆孙由热力学第一定律和热力学第二定律证明了同样的结果。同时也肯定了各向同性的d性体只有两个独立的d性系数。到了这个时期，d性力学就有了稳固的基础，并且已经能够把d性力学问题简化成在指定的边界条件下求解某些微分方程的数学问题；或在指定的边界条件和起始条件下求解运动方程的数学问题。

这个时期(1854～1907)的特点是d性力学大量地应用到工程问题中去，并把问题线性化。一般说来，变形体的平衡是指物体变形后的平衡。线性化理论的第一个特点是用物体变形前诸力的平衡来代替变形后的平衡，因而同变形无关。但这只适用于变形微小时的情况。线性化理论的第二个特点是把位移及其导数都当作微量，在研究问题时略去二阶和二阶以上的那些量。线性化理论的第三个特点是应力和变形关系为胡克定律。d性力学在这个时期内对数学分析起到了推动作用。

在这个时期人们发现，用线性理论求解某些问题时，理论值同实验值相差很大，对于这类问题必须用非线性理论求解，例如T.von卡门和钱学森在1941年提出的薄圆柱壳的非线性问题。非线性理论有二种：一种是物理非线性，也就是应力同应变的关系不再是线性的；另一种是几何非线性，就是位移分量和它们的微商不是很小的量。若保留二阶微量而略去二阶以上的微量，这种变形叫做有限变形。此外，线性理论也同时在发展着。由于工程计算的需要，这个时期也发展了很多的近似计算法。如W.里兹在1908年提出了能量法；Б.Γ.伽辽金在1915年提出了伽辽金法；H.马库斯在1932年提出了有限差分法；A.魏因施泰因在1937年提出了边界松弛法；R.V.索思韦尔在1935年提出了松弛法；以及近代电子计算机问世以后而被大量应用于d性力学的有限元法。

在解析解和近似计算的同时，还发展了实验应力分析法（如比拟法），即由实验直接量测所需要的数据。所谓比拟法就是根据不同的物理量，只要处理问题的方程相同，边界条件和初始条件也相同，就可用量测一种容易量测的物理量来代替其他需要求取而难以量测的物理量。

经典d性力学的基本假定

d性体是连续介质的一种，因此首先必须有连续的假定。对于经典d性力学通常有三个假定：

（1）均匀。d性力学中引用的各种物理系数同d性质点的位置无关。

（2）各向同性。对于d性体某一点的物理性质同方向无关。

（3）微小变形。位移分量和它们对坐标的导数都作为微量，略去其二阶和二阶以上的量。

在近代，用上述三个假定处理问题所得的结果已不能满足生产的要求，将上述假定除去后，就发展为各向异性、非均匀、有限变形等d性力学。除d性体本身的机械运动外，还考虑其他运动形式，例如，热、电磁等的耦合作用，而发展成热d性理论、电磁d性力学等。

d性力学的基本方程

经典d性力学的基本变量有位移矢量、应力张量和应变张量共15个。经典d性力学的基本方程为：

（1）应变分量同位移分量的关系共6个方程。

（2）平衡方程（运动方程）。标志d性体平衡的应力分量间的关系方程，共3个方程。在运动方程中还包含位移分量对时间的二次导数，即加速度。它只有在以应变分量或应力分量为未知量时才用；而以位移分量为未知量时，它是自动满足的。

（3）协调方程。保证物体连续的应变分量间的关系方程，共6个方程。

（4）胡克定律。标志d性体物理性质的应力和应变关系的方程，共6个方程。

在近代，经典的d性理论得到了新的发展。例如，把切应力成对性发展为极性物质d性力学;把协调方程(保证物体变形后连续，各应变分量必须满足的关系)发展为非协调d性力学；推广胡克定律，除机械运动本身外，还考虑其他运动形式和各种材科的物理方程称为本构方程对于d性体的某一点的本构方程，除考虑该点本身外还要考虑d性体其他点对该点的影响，发展为非局部d性力学等等。

参考书目

1. 钱伟长、叶开沅著：《d性力学》，科学出版社，北京，1980。
2. A. E. H. Love，A Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity， 4th ed.， Dover， New York，1944.