关于格介绍

[拼音]：ge

[外文]：lattice

一种特殊的偏序集。在许多数学对象中，所考虑的元素之间具有某种顺序。例如，一组实数间的大小顺序；一个集合的诸子集（或某些子集）间按“吇”（“被包含”）所成的顺序；一组命题间按“蕴涵”所成的顺序；等等。这种顺序一般不是全序，即不是任意二元素间都能排列顺序，而是在部分元素间的一种顺序即偏序（半序）。偏序集和格就是研究“顺序”的性质及作用而产生的概念和理论。

偏序集是指一个非空集合 P，在它的某些元素序偶(α，b)间，规定了一种关系α≤b，适合下列性质：对一切α、b、с∈P，①α≤α；

（2）若α≤b，且b≤α，则α=b；

（3）若α≤b，且b≤с，则α≤с。

设P是一个偏序集，α、b、с是P 中元素。若α≤с且b≤с，则с称为α和b的一个上界。若对α和b的任一上界d∈P，有с≤d，则с称为α和b的最小上界。易知，α和b在P中的最小上界至多有1个。当它存在时，就记作α∪b。仿此可定义α和b的最大下界，当它存在时，就记作α∩b。P 的任一非空子集的最小上界及最大下界可以类似地定义。但它们不一定存在。

如果偏序集l中任二元素α和b，都具有最小上界α∪b与最大下界α∩b，那么l称为一个格。在格l中，运算∪及∩适合以下性质：对一切α、b、с∈l，①α∪b=b∪α，α∩b=b∩α；

（2）α∪(b∪с)=(α∪b)∪с， α∩(b∩с)=(α∩b)∩с；

（3）α∩(b∪α)=α， α∪(b∩α)= α；

（4）α∪α=α， α∩α=α。

运算∪、∩及偏序 ≤可以互相刻画，即对一切α、b∈l，α≤b当且仅当α∪b=b，当且仅当 α∩b=α。由此可得到格的又一个定义:如果非空集合l有两个二元运算∪及∩，它们满足上述的性质①～④，那么l称为一个格。这个定义与前一定义是等价的。

设P是一个偏序集，P1是P的任一非空子集，P1按照由P中继承来的偏序，也构成一个偏序集，称为P的子偏序集。设l是一个格，l1是l的一个非空子集，如果l1对于l中的运算∪及∩是封闭的，那么l1称为l的子格。有时，格l的子集l1不是l的子格，而作为l的子偏序集，它自身却可以构成一个格。这是因为l1中的元素α和b在l中的最小上界（最大下界）与在l1中的最小上界（最大下界）未必一致。

例如，集合l={1，2，3，4，12，}按照正整数的整除(即规定对一切α、b∈l，α≤b当且仅当α整除b)构成一个偏序集。而且l是一个格，如3∩4=1，2∪3=12，等等。集合l也可如图 1

所示。格中每一个元素用一个“。”表示，并在诸“。”间连线，任二元素α和b能用自下而上的折线连通，当且仅当α≤b。

群G ={e， α，b，с}，其运算如表。

G 共有5个子群：G，A ={e，α}，B ={e，b}，C ={e，с}，E＝{e}。这些子群所成的集合L(G)={G，A，B，C，E}对于偏序"吇"构成一个格，如图2

所示。

若一个格的任意非空子集都有最小上界及最大下界则这个格称为完备格。例如，每个有限格都是完备格;实数集 R（加入±∞后）对于通常的大小顺序≤构成一个完备格，但是有理数集Q却不然，因为Q中一切适合r2<2的数r所成的子集就没有最小上界。任一群G的一切子群所成的集合对于“吇”构成一个完备格 F(G)。关于完备格有定理:每个格l都能嵌入一个群G的子群格F（G）中，即L同构于F(G)的一个子格。仿照通常由有理数集构作实数集的戴德金分割方法，可以证明又一个定理:每个偏序集P都能“完备化”为一个完备格l，亦即由P能作出一个完备格l，l包含P为其子偏序集。

在广义实数系R中，不但能进行四则运算，而且由于R对于≤具有完备性还能进行求极限的运算，R成为分析数学的基石。在格论中，有些完备格也可以有某种类似的作用。

在一个格l 中，∩对于∪的分配律α∩(b∪с)=(α∩b)∪(α∩с)，或∪对于∩的分配律α∪(b∩с)=(α∪b)∩(α∪с)未必成立。如果在格l中有一条分配律成立，那么l称为分配格。可以证明，若在格l中有一条分配律成立，则另一条分配律也成立。例如，每个全序集都是分配格。正整数集对于“整除”这一偏序构成一个分配格。任一集合的一切子集所成的集合，对于偏序“吇”构成一个分配格。一个格l是分配格的充分必要条件为：l不具有同构于图1所示的格或图2

所示的格的子格。关于分配格有如下的定理：每个分配格 L都同构于一个集合环（即一个集合的某些子集对于“并”(∪)及“交”(∩)所构成的格）。每个偏序集都能扩展为一个全序集，扩展时无须增加元素而只扩展偏序的定义。

设l是一个格。所谓模度律，是指对一切α、b、с∈l，有α∪(b∩(α∪с))=(α∪b)∩(α∪с)。如果在格l中有模度律成立，那么l称为模度格，又称戴德金格。一个格l是模度格的充分必要条件为:l不具有同构于图1 所示的格的子格。关于模度格有如下的定理：设G是一个群，L1(G)是G的一切正规子群对于偏序“吇”所成的格，则L1(G)是模度格。关于环上的模及其子模，也有类似的定理成立。利用模度律，可以对群和模的某些结构性定理如若尔当－赫尔德定理、克鲁尔－施密特定理等用格论的语言，作比较简明也比较一般的证明。

如果一个格l中含有对于≤的最大元I及最小元O，而且有一种求补运算“┡”，对一切α∈l， α∪α┡=I， α∩α┡=O，那么l称为可补格。例如，布尔代数就是可补格中重要的一类。可补模度格也是较重要的，它与射影几何有联系。

格论在代数学、射影几何学、集合论、数理逻辑、泛函分析以及概率论等许多数学分支中都有应用。例如，在代数学中，对于一个群G与其子群格L(G)之间关系的研究。在数理逻辑中，近年来关于“不可解度”的研究。

参考书目

1. G. Birkhoff，lattice Theory，3rd ed.， American Mathematical Society，New York，1967.

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