什么是传递函数?

[拼音]：chuandi hanshu

[外文]：transfer functions

表示线性时不变系统输入量(或激励)与输出量（或响应）关系的一种函数。

对于一个单输入、单输出连续的线性时不变系统(图1)，设输入为u(t)，输出为y(t)，它们的拉普拉斯变换分别为

在零状态的情况下，输出Y(s)与输入U(s)之比，是一个仅依赖于系统结构和系统参数的复变量s 的函数， 记作H(s)，称为此系统的传递函数

一个集总的线性时不变系统，其输入-输出关系由一常系数线性微分方程表征，由之容易求出其传递函数。设系统的微分方程是

相应的传递函数即是

集总的线性时不变系统的传递函数是s的有理函数，即两个s的多项式之比。其中的系数均为实数。对于分布参数系统，传递函数由相应电路的偏微分方程确定，它们往往是复杂的。

描写电路的方程，还可以有多种形式的。例如在电路中可以用节点电压法或回路电流法写电路方程，求得所需的传递函数。

图2中两个电路的传递函数如下。

图2a的电路的传递函数是

图2b的则是

已知一个系统的传递函数，给定其输入，就可由拉普拉斯反变换求得输出

一个复杂的系统常可划分为若干个单向的环节或部分的组合。所谓单向的环节，是指信号只能够向一个方向即由输入到输出的方向传递的环节。在这种情况下，系统的传递函数可以简单地用各环节的传递函数的乘积表示。

常用方框图表示一个复杂系统的信号的传递方式。一个方框的输入-输出用其传递函数表示(图3a)，

根据系统的方程式将各个方框用图3b的比较点和图3c的分支点联接起来，就得到系统的框图。根据系统的框图，由各方框的传递函数及比较点、分支点处的输入-输出关系，即可推出整个系统的传递函数。

一个系统的传递函数仅决定于系统的结构与其中的参数，而与输入(激励)无关。其实，可以更简便将传递函数理解为施加est[t∈(-∞，∞)]形式的激励时输出与输入之比。此比值是复频率s的函数。如取s＝jω ，则

H(s)


=H(jω)

即为系统在角频率为 ω 的正弦稳态下的输出-输入之比，称为系统的频率特性。将它记作

H(jω)=|H(jω)|

的形式。其中|H(jω )|称为此传递函数的幅频特性，它表示输出与输入的振幅之比；θ(ω) 称为此传递函数的相（角）频特性，它表示输出输入的相位差。它们均随角频率ω 的变化而变化，所以都是ω 的函数。除了根据系统的结构、参数由上式那样的方程计算系统的传递函数，求得其频率特性以外，还可以用实验测量输入、输出的方法求得系统的频率特性。

对一系统的特性的研究可以代之以对其传递函数或频率特性的研究。电路、线性系统的分析、设计在很大程度上就转化为相应的传递函数的分析、设计。因此，传递函数成为研究线性时不变系统广泛使用的工具。

传递函数还可推广用以表示多变量系统（多输入、多输出的系统）。例如一个2输入2输出系统的H(s)便是一个2×2的矩阵，它的每一元素相当于在某种条件下由此多变量系统形成的单变量系统的传递函数。

离散时间系统也常用其传递函数来描述和分析。

一系统的传递函数决定它的输入输出关系，它的拉普拉斯反变换即是系统的冲激响应。可见它的性质对系统的输出起着重要的作用。而传递函数作为复变量 (复频率)s的函数的特性可以由它的零点和极点的分布来表征。

集总参数电路的传递函数的一般形式是实系数的有理函数，将此式写作以下形式

式中zi、pj可以是复数或实数值。使分子多项式P(s)为零的各复频率zi值，称为传递函数的零点；使分母多项式Q(s)为零的各复频率pj值，称为传递函数的极点，又称自然频率。它们决定了系统输出中的自由振荡的模式。这只要将输出的拉普拉斯变换式作部分分式展开，即得

假定Q(s)=0无重根，U(s)的极点是单重的

式中N是Q(s)=0的零点数，r是激励U(s)的极点数。这里假定H(s)、U(s)的零点极点没有相同的（有与极点相同的零点，表示Y(s)的分子、分母中有公因子，可以先将其消除）。于是输出y(t)便有以下形式

由此可见，-sj是对应于输出中自由振荡分量 e


的自然频率，而-sK则是输出中的强迫振荡分量 e


的复频率。零点决定输出中每一分量的大小，因为它们影响Kj、Kr诸系数的值。

传递函数零点极点的分布与系统的输出性状的关系可以归纳如图4所示。

由于决定极点位置的方程式的各系数均为实数，所以它若有复数根，则它必以共轭对出现，即若Sj为其复数根，Sj的共轭 宑j亦必为其根。假定所有的极点都是单重的。这样，图4中的每一对实部为负的共轭复根对应于输出中的衰减振荡分量，根的实部决定衰减的快慢，根的虚部确定振荡的角频率；在虚轴上的一对共轭虚根对应于输出中的不衰减的正弦振荡；在原点的极点对应于输出中的恒定分量；在负实轴上的极点对应于输出中的指数衰减分量；在右半面上的极点对应于指数增长（绝对值）的分量。

传递函数有极点在闭右半s平面的系统是不稳定的，因为其中的自由振荡随着时间t的增加而无限增长。稳定的系统的传递函数的极点均限制在开左半s平面。 根据极点零点在s平面上的分布，可以对系统的多方面的性状，如稳定性、频率特性、动态性质等进行分析研究。

参考文章

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