关于线性方程组介绍

[拼音]：xianxing fangchengzu

[外文]：system of linear eqations

关于未知量是一次的方程组，其一般形式为

(1)

式中x1，x2，…，xn代表未知量，αij(1≤i≤m，1≤j≤n)称为方程(1)的系数，bi(1≤i≤m)称为常数项。系数和常数项都是任意的复数或某一个域的元素。

当常数项b1，b2，…，bn都等于零时，则方程组(1)称为齐次线性方程组。

方程组(1)的系数所构成的m行n列矩阵

称为方程组(1)的系数矩阵。在A中添加由常数项组成的列而得到一个m行n+1列矩阵

称为方程组(1)的增广矩阵。

如果在方程组(1)中，以一组复数或域F的元素с1，с2，…，сn代替未知量x1，x2，…，xn，每一个方程的两端相等，那么с1，с2，…，сn称为方程组(1)的一个解。

关于线性方程组，有以下主要结果。

（1）线性方程组(1)有解的充分必要条件是，系数矩阵A与增广矩阵凴有相同的秩。

（2）在A与凴有相同的秩r>0的情形下，A有一个r阶子式D不等于零，设

于是方程组(1)与仅含有前r个方程的方程组同解。可将前r个方程改写为

(2)

方程组(2)的一般解公式为

x1=D1/D，x2=D2/D，…，xr=Dr/D， (3)

式中Dj(j=1，2，…，r)是把D的第j列换成方程组(2)的右端的列所得到的一个r阶行列式，即

因而x1，x2，…，xr可由其余的未知量xr+1，xr+2，…，xn线性表出，xr+1，xr+2，…，xn称为自由未知量。

当r<n时，则任意给自由未知量的一组值，由(3)可求出x1，x2，…，xr的值即方程组(1)的一个解，此时方程组(1)的解不只一个。当r=n时，则方程组(2)不含自由未知量，由(3)给出方程组(1)的惟一解。当m=n=r时，公式(3)称为克莱姆规则。

线性方程组是最简单也是最重要的一类代数方程组。大量的科学技术问题，最终往往归结为解线性方程组，因此线性方程组的数值解法在计算数学中占有重要地位。