关于维数介绍

[拼音]：weishu

[外文]：dimension

刻画几何图形拓扑性质的一种数。通俗地说，它是确定整个图形中点的位置所需要的坐标（或参数）的个数。直线上的点由一个坐标确定，故直线的维数为1。平面上的点由两个坐标确定，故平面的维数为2。同理，日常所指的空间，其维数为3。当整个图形为一个点时，点的维数假设为0。在19世纪前，几何学仅从事三维或低于三维图形的研究。19世纪以来，更高维空间的概念开始被接受。例如，日常的三维空间中点的坐标是(x，y，z)，再加上时间坐标t，就得到点(x，y，z，t)，它们组成的空间就是最简单的四维空间。

严格地讲，上面关于维数的定义是含混而带描述性的。1890年，G.皮亚诺令人吃惊地构造了一条能填满正方形的“曲线”（见拓扑学）。若按上面的说法，正方形的维数就会是1，这是不合情理的。20世纪初，随着处理抽象空间的拓扑学的发展，维数的严格定义显得更必要了。1912年，（J.-）H.庞加莱指出，若在曲线上标出一点，曲线通常就被分离成两段，蚂蚁从其中一段出发爬行，不接触该点就无法进入另一段。因为曲线由点（0维）分离，故曲线的维数大于0而为1。曲面就不能由点分成这样两块，但可以用曲线分离，从而曲面的维数应高于曲线的维数。此外，立方体不能被点或曲线分离，但可以用曲面分离，故立方体的维数为3。基于这种归纳的想法，20世纪初L.E.J.布劳威尔以及稍后的E.切赫给出了维数的严格定义，即大归纳维数。K.门杰及∏.C.乌雷松把上述思想局部化以后，得到另一种维数定义，称为小归纳维数。H.L.勒贝格发现，可以用充分小的矩形把正方形覆盖起来，使得每一点至多属于三个小矩形，且至少有三个要相交。n维空间的方体也有类似的特性，不过这时每一点至多属于n+1个小方体。这个事实就导致E.切赫定义了第三种维数，即覆盖维数（也称勒贝格维数）。∏.C.亚历山德罗夫定义了第四种维数，即同调维数。

空间x的小归纳维数记作 indx。若═为空集，令ind═=-1，若对于x的每一点x以及它的开邻域U，存在x的另一个邻域V，使得V嶅U且ind(堸V)≤n-1，则称indx≤n。若indx≤n且indx≤n-1不成立，则称indx=n。

空间 x的大归纳维数记作Indx。同样，规定Ind═=-1。若对x的任意闭集A以及它的开邻域U，存在A的开邻域V，使得V嶅U且Ind(堸-V)≤n-1，则定义Indx≤n。若Indx ≤n且Indx ≤n-1不成立，则称Indx =n。

若空间 x的任意有限开覆盖有其阶数小于n+2的有限开覆盖加细则定义diтx≤n。如果这时dimx≤n-1不成立，则称diтx =n。所谓覆盖的阶数小于n是指该覆盖中任意n个元之交为空集。

设x是紧豪斯多夫空间，G是可换群，定义x的同调维数Dh(x，G)≤n，如果x关于任意闭集A的n+1维切赫相对同调群彔n+1(x，A;G)=0，这时若Dh(x，G)≤n-1不成立，则称Dh(x，G)=n。用切赫相对上同调群彔n+1(x，A;G)来代替彔n+1(x，A;G)，则得到x的上同调维数Dc(x，G)的定义。

维数论中最基本的问题，是研究如何对每个空间指定一个确定的整数（即维数），使得n维欧氏空间的维数为n；若Y是空间x的子空间，则Y的维数不超过x 的维数；同胚的空间具有相同的维数。上述维数的定义，基本上都符合这些要求。维数论中另一个重要课题是比较各种维数的定义。对可分度量空间而言，前三种定义是等价的。若Y是度量空间，则

indx ≤Indx =dimx，而indx 可能与此不等。对于紧致度量空间，如果dimx有限，则dimx=Dc(x;Z)=Dh(x；K)，这里Z是整数加群，K是模 1实数加群。此外，所谓维数的和定理、单调性定理、积定理的研究都是维数论的传统课题。特别是无限维空间的维数论在近年得到重视，已开始成为维数论的中心课题。

参考书目

1. W.Hurewicz and H.Wallman，Dimension Theory， Princeton Univ.Press，Princeton，1948.