关于综合几何学介绍

[拼音]：zonghe jihexue

[外文]：synthetic geometry

借助图形的直观形象，以一些基本名词（如点、直线、平面等）和关系（如衔接、顺序、合同等）满足一套公理或公设，经过一定的逻辑推理，导出一系列的定理的研究方法，称为古典公理法或综合法，用这种方法所研究的几何称为综合几何，它是与17世纪所产生的解析几何（见解析几何学）相对而言的。

初等几何一般是利用综合法来研究问题，而现代公理法则完全脱离了直观性的约束，以一系列的公理形式，规定出一些抽象的原始对象间的相互关系，并以此作为基础，导出整个几何学的一切概念和定理。

射影几何学是讨论在一个或多个中心投影和截影之下保持不变的图形性质（见射影几何学）。它可以建立在一套公理系统的基础上，经过严格的逻辑推理得到它的全部内容，用这种方法，研究射影几何叫做公理法的射影几何。但也可以在欧氏空间的基础上，用增加无穷远元素的方法，将欧氏空间加以扩充，排除欧几里得几何的度量概念，并利用综合法来处理几何问题，这就是综合射影几何。

射影几何的起源，是基于绘图和建筑的需要，古希腊数学家就开始了透视法的研究，直到17世纪初叶，J.开普勒、G.德扎格相继引进了无穷远点。德扎格证明了他的著名定理后，又引进了交比、极点和极线等概念。法国人B.帕斯卡也从事这方面的研究，发表了他的著名定理。这个时期中，射影几何这门学科曾相当活跃。但由于解析几何和微积分学的兴起，使综合射影几何逐渐淹没了。G.蒙日是画法几何的创始人，他曾带领他的学生们从事这方面的工作。他的学生J.-V.彭赛列是19世纪使射影几何得以复兴的主要奠基人。发表了《论图形的射影性质》一书，并就一般问题考虑和探索几何图形在投影和截影下保持不变的性质，认识到射影几何将成为具有独特方法的新数学分支，并利用配极概念，确立了对偶原则。其后，J.施泰纳提出了二次曲线的射影产生方法，K.G.C.von施陶特则指出射影几何是与距离无关的学科。通过他们的努力，使综合射影几何形成了一个完美的体系。以后的数学家只是进行了一些加工，没有更突出的贡献。原因是使用综合法，虽形象鲜明，论证简洁，但在应用上却受到一定的限制，因而学者们不得不采用其他方法来开拓射影几何的领域。

参考书目

1. M.克莱因著，张理京、张锦炎译：《古今数学思想》第1册，上海科学技术出版社，上海，1979。(M.Kline，MatheMatical Thouaht from Ancient to Modern Times， Oxford Univ.Press， New York， 1972.)
2. J.L.Coolidge，A History of Geometrical Methods，Dover， New York， 1963.