[拼音]：jihelun gongli xitong
[外文]：axiom systems for set theory
公理集合论的基础部分。如同平面几何中的点、线、面一样，集合是一个不加定义的原始概念。集合和属于关系∈是通过公理刻画的。例如，“任一集合由它的元素所惟一决定”是通过外延公理刻画的。“存在一无穷集合”是无穷公理所断定的。集合的运算（如无序对、并、幂等）也是通过公理加以刻画和保证的。虽然每一公理都不是借助于直观(因为直观不严谨可能发生错误)而是借助于严谨的形式语言加以刻画的，然而公理的背景都是很深刻和很直观的，它们来源于G.（F.P.）康托尔的朴素集合论，是从他的理论中抽象出来的基本原则。因此，每一公理都是刻画集合或类的某一基本性质。把某些公理搜集在一起组成刻画集合或类的特征的若干基本原则，就称为集合论的一个公理系统。具体地说，在康托尔集合论中包含着深刻的、丰富的、新型的推理方法。悖论的发现促使人们借助于公理化方法，以期排除集合论中的已知悖论并系统地整理G.康托尔的理论和方法。1908年出现两个著名的公理系统，这就是E.F.F.策梅洛的系统和B.A.W.罗素的类型论。之后，集合论公理系统的研究成了一个重要的方向和领域。除了对上述两个系统的扩充、加工和修改之外，还出现了一些新的系统，其中最著名的是J.冯·诺伊曼1925年提出的系统，后经P.贝尔奈斯、K.哥德尔修改形成的GB系统，人们通常把这个系统记作NBG或GB。
除了上述三个最著名的系统外，还有奎因系统，王浩系统，阿克曼系统，莫利和斯科特系统也都是值得重视的。近年来，人们也相当重视非直谓类的公理系统，其中有本质上是贝尔奈斯1961年给出的BC系统。
策梅洛-弗伦克尔公理系统
在1908年策梅洛系统的基础上，经A.T.斯科朗、A.A.弗伦克尔的改进与补充而建立的一个公理系统，是康托尔集合论方法的形式化处理。它易于理解，是影响最广的一个系统，人们通常把上述系统叫做ZF系统，并简记为ZF。它的原始概念是集合和属于关系，它们不是由定义给出的，而是借助于一阶语言（见一阶逻辑）由公理直接予以刻画的。这一系统的公理是下述10条。
（1）外延公理 对于任意的两个集合x与y，如果x的任一元都是y的元，反之，y的任一元都是x的元，则x＝y。换句话说，对于任意两个集合，它们的元素相同时，它们为同一个集合，亦即。
（2）空集合存在公理 存在一个没有任何元素的集合。也就是说，空集合是存在的，空集合通常记作。即彐x凬y(y唘x)。
（3）无序对集合存在公理 对于任意的集合x，y，都存在一集合z，它的元素恰好是x 与y ，即。此公理中的集合z，记作{x，y}，称为x与y的无序对集合。当x=y时，它就是{x}，此时称｛x｝为x的单元集合。
（4）并集合公理 对于任意的集合x，都存在一集合y，y的元素恰好是x的所有元素的元素，即。此公理中定义的集合y 称为x的并集合，记作∪x。由此公理，对于任意的集合S1，S2，它们的并S1∪S2就定义为集合∪{S1，S2}。
（5）幂集合公理 对于任意的集合x，都有一个集合y，y的元素恰好是x的子集合。即，其中。此公理中定义的集合 y称为x的幂集合，记作P(x)。
（6）无穷公理 存在着一个集合，它的元素恰好是所有自然数，此集合记作ω。即
。
（7）分离公理模式 对任意的集合论公式A(z)和任意的集合x，都存在一集合y，y 的元素恰好是由满足公式A(z)且属于x的那些元素组成。即
。
（8）替换公理模式 对于任意的公式A(x，y)，如果对任意的集合x，都有惟一的集合y，使得A(x，y)成立，那么对任意的集合S1，有一集合S2，使得S2 ={u｜t∈S1且A(t，u)}。也就是说，若A(x，y)具有一对一的性质，这时，对于任一集合S1，由S1中每一元素经A(x，y)对应的值组成一集合，即
（9）正则公理（基础公理） 对于任一非空集合S，都有一集合y，使得y∈S且y与S不交，即
。
（10） 选择公理 公理⑦与公理⑧都是对任意公式而言，一公式对应一条公理，因为有可数无穷个公式，所以有可数无穷多条公理。但是，这样的公式都有统一的格式，因此，称它们为公理模式。（见选择公理）
在策梅洛1908年的论文中，分离公理中的A(z)仅指集合的性质。然而，性质仍然是一个很含混的概念，弗伦克尔把性质形式化为一阶语言中的公式，从而使这一概念清晰和严谨了。在文献中，人们常把公理①～⑦与⑨～⑩一起记为Z（即策梅洛系统），把公理①～⑩一起记为ZF。有时为了突出选择公理，人们也把公理①～⑨记为ZF，而把公理①～⑩记为ZFC。
ZF的独立性问题
ZF不是独立的，例如，由公理①～⑥与⑧～⑨可以推出公理⑦。但由于公理⑦是策梅洛首先提出的，具有历史意义，并且运用方便，由它来证明交、笛卡儿乘积等运算的合法性都是相当简洁的。因此，一般说来，公理⑦还是给予保留的。
ZF的完备性问题
皮亚诺算术公理都是ZF的定理，它们都可以直接从ZF推得。因此，由哥德尔不完备性定理可知，ZF是不完备的。
ZF的协调性问题
据哥德尔第二不完备性定理，ZF的协调性只能在比它可强的系统中证明。例如，在ZF+大基础公理（即“存在一大基数”）的公理系统中，可以证明ZF是协调的。
类型论
关于集合的型的层次理论。它包括两部分的内容:简单类型论和分支类型论。在简单类型论中，每一集合都有一确定的层次。一集合x能够是另一集合y的元素，当且仅当y的层次比x的层次恰好多一，层次为0的对象是本元（或称为个体，也称为原子）。在这一系统中，变元是带有层次的。对于每一正整数n，都有n层的变元xn，yn等，它们表达n层对象。所以，这里有无穷多个原始概念，即有无穷多个不同层次类型的集合。在这一形式语言中，对于任意的变元xi，yj，xi∈yj为一合法的公式，当且仅当j=i+1。没有不附加型的对象(或变元)，每一对象（或变元）都有一正整数n，使得它恰好是n型对象（或n型变元）。人们不能够泛泛地说，所有的对象如何如何，而只能说某一型的所有对象如何如何。当某一对象并不比某一集合的型恰好小于1时，说那个对象是该集合的元素，不仅是错误的，而且是毫无意义（即无定义的）。人们常把这一系统记作T。T的公理是外延公理、概括公理、乘法公理和无穷公理。
（1）外延公理 对于任意给定的同一型的两个对象，例如，它们均为n型对象xn，yn，如果对于任意的n＋1型对象zn+1，使得xn在zn+1中，当且仅当yn在zn+1中，则xn与yn为同一对象，即xn=yn。形式地说，就是
应当注意，这里的外延公理的陈述方式与ZF的外延公理的陈述方式是有差别的。
（2）概括公理 对于任意的公式A(xi)，都存在一个i+1型的集合yi+1，使得。
（3）乘法公理 对于任意不空的i＋1型的集合xi+1，若它的任一元xi都是不空的，且xi+1的任意两个不同的元都是不交的，则存在i型的集合yi，使得xi+1的任一元xi中恰好有一元属于yi。反之，对于yi的任一元，xi+1也一定有一元xi，使得xi含有yi的这一相应元。形式地，就是
应当注意，对于每一型都有一个相应的空集合，上述公式中实际上已出现了i+1型空集合与i型空集合。（下文省去了它们的下标。）
（4）无穷公理 断定存在一个具有无穷多个元素的集合。为了严格地陈述这一公理，先引进一些预备概念。对于两个同型的对象xi，yi，单元集合{xi}与无序对{xi，yi}都是i＋1型对象；有序对 <xi，yi>定义为{{xi}，{xi，yi}}，是i＋2型对象。这样，以<xi，yi>为元素的集（即i型对象上的二元关系）就是i+3型的对象。为了断定存在一无穷集合，只须断定有无穷多个本元就够了。关于本元的二元关系为3型集合R3。公式表示关系 R 3 是非自反的， 这也就是说，对于任意的本元。 公式 表示关系R 3 是传递的。无穷公理的形式化陈述如下：
因此，形式系统T不仅有无穷多个原始概念，它的公理也是无穷多条的。简单类型论避免了罗素悖论和康托尔悖论，对数学、逻辑学都产生了巨大的影响，已为逻辑学家所公认；它已体现于各种逻辑系统的形成规则之中。20世纪60年代A.鲁宾孙在创立非标准分析时也运用了这种方法。简单类型论也有它的局限性，它不能避免另外一些悖论，如J.A.里夏尔悖论。因此，罗素又引进了分支类型论。
在分支类型论中，研究的问题更为复杂。它把同一型的集合再分为不同的层次，高层次的集合不能再作为低层的集合看待。最低层次的集合称为直谓的，决定它们的性质（谓词）也称为直谓的性质（谓词），其他的集合（性质）称为非直谓的。例如，一n+1型集合Sn+1，如果对任一n型对象xn，必须考察n+1型整体方能断定 xn是否属于Sn+1时，则称集合Sn+1为非直谓的。非直谓的层次是高的。由概括公理，一性质（谓词或公式）决定一集合，这样，非直谓的集合可以借助于定义它的性质来说明。例如，罗素说：一个典型的英国人具有大多数英国人所具有的性质。其中“具有大多数英国人所具有的性质”也是一种性质，可是，这一性质涉及个体性质的全体。由此，称它是一非直谓的性质。一般说，凡涉及某一类型性质的全体而又是此类型的性质叫做非直谓的性质。从公式的角度看，例如，设z3为一3型集合，令公式A(x1)为 彐y2(x1∈y2Λy2∈z3)在其中含有1型变元x1的自由出现。由概括公理，这一公式决定一个2 型集合。而 S2要借助于2型集合中的约束变元来定义，也就是说，S2要借助包括S2在内的2型集合的整体来定义。这样，S2是一非直谓的集合，A(x1)为非直谓的公式（或称非直谓的谓词）。不是非直谓的集合（性质）叫做直谓的集合（性质）。
分支类型论可以避免诸如里夏尔悖论，但又遇到了新的困难。对于一个集合，人们不能笼统地说此集合的所有元素（它们是较低型的集合）都有哪些性质，而必须区分层次才能作出断定。实数就是这样的集合。对实数就不能作出一个单一的断定。因此，分支类型论不能作为描述数学命题的工具。为了弥补这一缺点，罗素又增加了一条可归约性公理或称为还原公理：每一非直谓性质（谓词）都有一直谓性质（谓词）与之等价。由此，一切型的集合都是直谓的。这样一来，又等于取消了分支类型论。
GB公理
在这GB系统中，人们把类分为集合与真类。它有集合与类两个原始概念。用小写英文字母 x，y，z（或加下标）作为集合变元，用大写英文字母X，Y，Z（或加下标）作为类变元。x∈y，X∈Y，x∈X，X∈x都是初级公式。此外，clα(X)与m(X)是初级公式，它们分别表示X是一类与X是一集合。由此，使用逻辑词获得所有的公式。公理区分为五组：
A组公理
（1）сlα(x)（任意的集合x都是类）；
（2）X∈Y→m(X)（若类X是类Y的元素，则X是一集合。即类的任意元都是集合）；
（3）(x∈X凮 x∈Y)→X=Y(类由它的元素所决定，即类的外延公理)；
（4）无序对公理（与ZF的相应公理一样）。
B组公理（类的存在公理）
（1）存在一类E，它的元素都是有序对集合，并且这一序对的第一元属于第二元。也就是说，存在一类X，使得对于任意的集合x与y，〈x，y〉属于X当且仅当x∈y；
（2）对于任意的类X，Y，都有一类Z，它为X与Y的交类；
（3）对于任意的类X，它的补也是一类；
（4）对于任意的类X，它的元素中有序对的第一元组成一类；
（5）对于任意的类X，它的元作为有序对的第一元，而第二元为任意的集合，所有这些有序对组成一类；
（6）对于任一类X，它的逆(记为X_1)也是一类，其中X_1是这样定义的:对于任意的集合S1，S2，有:<S1，S2>∈X当且仅当<S2，S1>∈X_1；
（7）对于任一类 X，存在一类Y，使得对于任意的三元组〈x，y，z〉，有〈x，y，z〉∈X当且仅当〈y，z，x〉∈Y；
（8）对于任一类X，存在一类Y，使得对于任意的三元组〈x，y，z〉，有〈x，y，z〉∈X当且仅当〈x，z，y〉∈Y。
C组公理（集合的存在公理）
（1）无穷公理 存在一集合，它具有无穷多个元素；
（2）并集合公理 任一集合的所有的元的元组成一集合；
（3）幂集合公理 任一集合的所有的子集合组成一集合；
（4）替换公理 对于描述一对一的类X，也就是说，对于任意集合y，至多有一集合z，使得〈y，z〉∈X。这时，若把X 中有序对的第一元限制在一给定的集合S1内，则X中相应于S1中元的有序对的第二元也是一集合；
不难看出，上述公理①、②、③分别与ZF中的公理⑥、④、⑤是相同的。而公理④与ZF中的公理⑧也是类似的，不同的是在那里的前提是一具有一对一性质的公式，这里是一对一性质的类。因此，ZF是一公理模式，而GB不是模式。不难验证，B组公理是对应于公式的通常运算的一组公理。
D组公理（类似于ZF的正则公理）
对于任意的不空类X，都有一集合y∈X，且y与X不交。
E组公理（选择公理）
它比ZF中的相应公理稍强一些。具体地说，存在一类 X，它的元素都是有序对集合，具有一对一的性质，亦即，对于任一集合y，恰有集合z，使得〈y，z〉∈X，且对于任一不空集合y，有z∈y，使得〈y，z〉∈X。
这五组公理中，没有公理模式。因此，它是一有穷的公理系统。这是它的重大特点之一。它规定真类不能作为类的元素，从而摆脱了以往的悖论。
集合论公理系统并不是随意的，而是有它的科学标准，这就是：
（1）能够描述康托尔理论的丰富内容，建立康托尔理论中已有的定理；
（2）能够摆脱以往出现的悖论；
（3）便于解决集合论未解决的问题，中心问题是连续统假设。前两条是基本的。当然，能否确保一系统的协调性，总是人们关心的首要问题。但是由哥德尔第二不完备性定理可知，如此丰富的集合论公理系统，如果是协调的，那么在其内部也是无法证明的，而须借助于更强的公理才能证明。例如，若存在大基数作为一公理的话，则ZF是协调的。关于③，由哥德尔与科恩的工作可知，连续统假设在ZF（或GB）中是不可判定的，它即不能被证明，也不能被否证。换言之，在著名的集合论公理系统中，都不足以解决连续统假设。这正是人们不断地寻求新公理系统的主要原因。人们总希望能找到科学的为大家所能接受的公理系统，并且得以解决著名的未解决的问题。
- 参考书目
- 张锦文编著：《集合论浅说》，科学出版社，北京，1984。
- A.A.Fraenkel and Bar-Hillel，Foundations of Set Theory，North-Holland， Amsterdam， 1958.
- K.Gdel，The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum Hypothesis with the Axioms of Set Theory，Princeton Univ. Press， Princeton，1940.
- P.J.Cohen，Set Theory and the Continuum Hypothesis，W.A.Benjamin， New York， 1966.
- R.B.Chanqui，Axiomotic Set Theory， Impredicative Theories of Classes，North-Holland， Oxford， 1981.
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