关于蒙特－卡罗法介绍

[拼音]：Mengte-Kaluofa

[外文]：Monte-Carlo method

研究物理或数学过程的一种随机模型的计算方法。蒙特－卡罗法是以随机抽样技巧作为工具的一门近代数值分析的学科。

蒙特－卡罗法的思想提出虽然较早，但系统性的研究实开始于1944年前后。当时由于研制原子d，需要研究中子在裂变物质中的输运，提出了一些不易用一般数学方法求解的问题。J.冯·诺埃曼、S.乌拉姆和E.费密等发展了这个用直接模拟物理过程的方法，解决了这些当时不易解决的难题。在研究宇宙线簇射中的问题时，也使用了这个方法。

蒙特－卡罗法可以用来求解两类问题。第一类问题称之为概率问题，用直接模拟某种物理过程的方法解决。为了说明求解概率问题的方法，现举一个γ射线对有限厚度的平板媒质的穿透问题(图1)作为例子。

为了简单起见，只限于在垂直于平板媒质的平面内讨论。假定γ射线是单能的，发出光子的波长为λ0。单向发射与平板媒质面的法线所成的角度为Θ0。则光子从进入媒质的点x0出发，在有限平板媒质中第一次发生碰撞的位置x1，可由概率密度

决定， 其中σ(λ0)是波长为λ0的光子的总截面。具体地说，x1是这样决定的，在电子计算机上产生一随机数ξ1，由下列公式可以决定x1，

其次，根据媒质对光子的吸收截面，决定它是否被吸收。如σα(λ0)是吸收截面，σS(λ0)是散射截面， 当γ射线能量不高时，可以简单地认为

再由电子计算机产生一随机数ξ2，如，则光子被吸收，不然则未被吸收。如被吸收，则须重取一光子，从头开始这个过程；如未吸收，则从克莱因－仁科公式和康普顿公式（见光的量子理论）决定光子经过一次散射后的波长λ1，和光子散射前与散射后的方向之间的夹角ω，由此可定出光子散射后的方向。决定λ1与 ω的随机抽样技巧，不拟在此多述。连续使用这样的过程，就可研究光子在媒质中的行为。所以追踪一个光子行为的过程是这样的：先定光子的碰撞位置，然后再定光子的波长改变和方向改变，对一个光子一直追踪下去，直到它被吸收，或被反射出这个平板媒质，或穿透过这个平板媒质。

以后再取一个光子，用上面所述的办法进行追踪。如果所取的总的光子样品数目为N，其中m个光子通过平板媒质，则穿透几率ρ便为

ρ＝m/N。

蒙特－卡罗法解决的第二类问题，是所谓定数问题。在解定数问题时，必须把问题化为相适应的能作模拟的概率问题。

这里举求定积分的问题作为例子。求定积分是一个定数问题，它可以化为打靶问题，而打靶问题是概率问题。

例如计算定积分

假定f(x)在0≤x≤1之间是处于0与1之间，即0<f(x)<1。积分I为曲线y＝f(x)，y＝0，x＝1，x＝0所包的面积之值。

要求积分I，可以先设制一个正方靶(0≤x≤1；0≤y≤1)在这正方靶内，作曲线y＝f(x)(图2)，并对这靶投射黑点。假定投射在单位正方形靶内任意点(x，y)的概率相等，如果点落在曲线y＝f(x)的下面或刚落在这曲线上[即当y≤f(x)]，则认为事件A实现；如果点落在曲线y＝f(x)的上方[即y≤f(x)]，则认为事件A不实现。可以证明，事件A实现的概率即是这积分之值。

根据上面的思想，可以在电子计算机上具体模拟射靶过程。在电子计算机上产生均匀分布于 (0，1)区域内的两个独立随机变数ξ和η，用来表示射靶试验所射到的点的坐标。因为随机变数在区域 (0，1)内出现的机会均等，而且它们之间是彼此独立的，因此所产生的点(ξ，η)显然均匀地落在正方形内。

从上述产生的随机数ξi与ηi，定义

假定试验进行了N次，则求得事件A实现的概率近似地为积分I的值

。

其他如线性代数方程组、微分方程、积分方程均可用蒙特－卡罗法求解。此外，它还可以很方便地用于多维、多因素问题的计算。

这方法不仅在原子能应用中大量使用，目前在粒子物理、原子核物理、固体物理、统计物理、高分子化学、军事科学、气象科学、医学、地质学、线性规划等领域均已广泛应用。

蒙特－卡罗法在近30年来所以能有这样大的发展，与快速电子计算机的广泛使用分不开。凡用蒙特－卡罗法模拟一个问题时，往往需要进行大量的抽样，而抽样过程靠电子计算机进行。如果要求计算结果的概率误差愈小，所抽的样品应愈多，因此计算量相当大，没有现代计算技术，很难设想蒙特－卡罗法会有今天这样的发展。可以预料，随着计算技术的进一步发展，蒙特－卡罗法将会有更大的发展。

参考书目

1. C. D. Zerby，Methods in Computational Physics，Vol.1， Academic Press， New York and London，1963.
2. J. Spanier and E. M. Gelbard， Monte CarloPrinciples and Neutron Transport Problems， Addison-Wesley， Reading， Mass.，1969.