什么是运动方程?

[拼音]：yundong fangcheng

[外文]：equation of motion

在传递过程的研究中，指流动流体的微分动量衡算式，是描述粘性流体流动的基本方程之一。此方程与连续性方程和各种具体问题的定解条件相结合，可求解速度分布和压力分布。

运动方程建立在牛顿第二定律基础上，表示流体动量的变化率（即流体质量与其加速度的乘积）等于作用于流体上外力的合力。所考虑的外力有两类：作用在整个流体质量上的力，即体积力（如重力）；和作用在边界上的力，即表面力（如压力和剪切力）。运动方程的向量式为：

(1)

式中F为单位体积力，如单位体积重力，F＝ρg，ρ为流体密度，g为重力加速度；p为单位体积边界上的力；u为速度；τ为时间；Du/Dτ为加速度。Du/Dτ称为随体导数，并记作D/Dτ，以区别于常用的d/dτ。

法国科学家C.-L.-M.-H.纳维在 1827年和G.G.斯托克斯在1845年分别将式(1)与广义牛顿定律结合，得到描述牛顿粘性流体流动时的微分方程式，即纳维－斯托克斯方程，它在直角坐标系中可写成：

(2)

对于不可压缩流体，u·墷＝0，式(2)变为：

(3)

式(3)是应用最广的运动方程。与式(1)对比可知方程左侧是流体的惯性力向量，其中加速度Du/Dτ分成了两项：

（1）дu/дτ为局部加速度，指流体速度u随时间τ的变化率；

（2）(u·墷)u为对流加速度，指流体因位置变化所引起的加速度。方程右侧F（体积力）形式未变，p（表面力）则表示为压力梯度（右侧第一项）及粘性力向量（右侧第三项）。

在直角坐标系中，式(3)的x方向分量式为：

(4)

忽略流体的粘性，即对于理想流体，纳维－斯托克斯方程中右侧第三、四两项为零，这就是由瑞士数学家和力学家L.欧拉于1755年提出的欧拉方程：

欧拉方程于定态条件下沿流线（流动空间中某瞬时的这样一种曲线，其上各质点的流速方向与该点的切线重合）积分，即是伯努利方程。

对于湍流运动，将不规则变化的瞬时速度u和瞬时压力p分别分解为时均速度ū 和脉动速度u′，以及时均压力p和脉动压力p′，则有u＝ū＋u′，p＝孒+p′，将此两式代入式(4)，可得到湍流运动方程，写成分量形式，以x方向为例：

(5)

对于y、z方向亦有类似形式，这组方程称为雷诺方程。

将雷诺方程与纳维-斯托克斯方程对比，可以看出前者多了几个附加项，这是由于湍流脉动所引起各个方向的应力，即


等，称为湍流应力或雷诺应力。

对于两相流和非牛顿流体流动，运动方程的建立和求解有很多困难，至今还很不成熟，但鉴于这些流动在工程上的重要性，是目前研究工作十分活跃的领域。

纳维－斯托克斯方程和连续性方程一起，构成牛顿粘性流体运动的基本方程组。由于方程是非线性的，至今尚无一般解，只能结合特定情况处理。对于一些简单的问题，非线性项为零或是非常简单的形式，可得精确解。对于较复杂的情况，有时根据流动问题的物理特点，可以略去方程中的次要项，简化成近似方程后求解。如在低雷诺数时，忽略惯性力，所得近似方程称为爬流方程。由后者求解得到著名的斯托克斯定律（见流动阻力）；在高雷诺数时，用边界层概念简化运动方程，可了解绕流和射流的特征。此外，用数值法解这组方程，可以解决更复杂的问题，例如搅拌槽中粘稠液体的运动、波动液膜的运动以及伴有化学反应的湍流运动等。