什么是影子价格?

[拼音]：yingzi jiage

[外文]：shadow price

在线性规划问题中约束条件常数项增加一个单位而产生的目标函数最优值的变化。如果约束条件常数项表示资源，目标函数最优值表示最优收益，则影子价格是指资源增加对最优收益发生的影响，所以又称资源的边际产出或资源的机会成本。它表示资源在最优产品组合时所能具有的潜在价值。由于影子价格是针对某一具体约束条件，而问题中所有其他数据都保持不变，因此影子价格也就是目标函数最优值对资源的一阶偏导数。

在求解线性规划时，很容易从最终单纯形表中得到影子价格。在最优解时某一特定约束条件的影子价格的数值与某一对应的松弛变量的系数值相同而符号相反。因此在求解线性规划时不仅得到最优解，同时得到约束条件的影子价格。影子价格仅与原始问题的约束条件有关，而与变量没有关系。

下面列出对称的原始-对偶线性规划：

原始问题 对偶问题max z＝cx min w＝yb

s.t. Ax ≤b s.t. yA≥c

x≥0 y≥0

式中max表示求极大值，min表示求极小值，s.t.表示受约束于；z是原始问题的目标函数，w是对偶问题的目标函数；x是原始问题的决策变量列向量（n×1），y是对偶问题的决策变量行向量（1×m）;A是原始问题的系数矩阵（m×n）,b是原始问题的右端常数列向量(m×1),c是原始问题的目标函数系数行向量（1×n）。

在经济问题中应用线性规划时，对于原始问题变量x可理解为经济活动水平，例如产量,每个可行解就表示某一生产水平。目标函数z可理解为总的经济收益,系数c表示每种产品的价格。右端常数b可理解为使用资源的上限,矩阵A中的系数可理解为不同产品对各种资源的单位消耗。对这个线性规划求最优解就是在有限资源条件下谋求最高的收益。此时对偶问题中的变量y 就是影子价格。

影子价格对企业的经营管理提供许多有价值的信息：

（1）增加哪种资源对经济效益最有利。

（2）花多大代价来增加资源才合算。

（3）如何考虑新产品的价格。

（4）产品价格变动时哪些资源最重要。

（5）分析工艺改变后对资源节约的收益。这些分析都是在最优解的最优基不变的情况下进行的，在实际工作中要结合灵敏度分析进行。对于影子价格还有更广泛的理解,例如:如果列入产量约束，则可以比较扩大销售量与增加资源的经济效益。