命题逻辑是什么?

[拼音]：mingti luoji

[外文]：propositional logic

现代逻辑较简单、较基本的组成部分，它不考虑把命题分析成个体词、谓词和量词等非命题成分的组合，只研究由命题和命题联结词构成的复合命题、特别是研究命题联结词的逻辑性质和推理规律。命题逻辑分为经典命题逻辑和非经典命题逻辑，后者如构造逻辑、模态逻辑等逻辑系统中的命题逻辑部分。历史上最早研究命题逻辑的是古希腊斯多阿学派的哲学家。现代对命题逻辑的研究始于19世纪中叶的G.布尔。G.弗雷格则于1879年建立了第一个经典命题逻辑的演算系统。

研究命题逻辑需要使用公式表示复合命题的形式，并反映复合命题的逻辑特征，组成这种公式的一组符号和规定怎样由符号构成公式的一组规则，合在一起便构成一个人工符号语言。当把符号和公式看作是没有意义的具体对象，只研究公式之间的关系时，这种研究称为语法的；当对符号和公式予以解释，例如把一部分符号解释为命题联结词，把某些符号解释成取真假二值为值的变元，并在这种解释下研究公式的意义时，便称这种研究为语义的。命题逻辑在描述和研究符号语言、即对象语言时，还要使用另一种语言，即元语言。元语言通常由某种自然语言并加上若干专门符号构成。关于整个命题逻辑系统的性质和系统特征的研究，称为元逻辑的研究。由元逻辑研究得到的关于整个逻辑系统的定理称为元定理。

用特定的语词把命题连接起来可以构成复合命题；从中起连接作用的语词称为命题联结词；构成复合命题的命题称为支命题，支命题本身也可以是复合命题。命题逻辑研究复合命题的逻辑形式、推理形式和公理系统。传统逻辑关于假言推理、选言推理和二难推理等的理论，都属于命题逻辑的范围。复合命题的形式可以公式明晰地表示。在经典命题逻辑里，这种公式通常由以下 3种符号组成：

（1）表示任意命题的命题变元，它们是 p，q，r，p1 ，q1 ，...；

（2）5个基本的命题联结词，即塡、∧、∨、→、凮；

（3）用来显示公式的结构层次的括弧(，)。5个基本的命题联结词依次称为否定词、合取词、析取词、蕴涵词和等值词；在汉语中，它们通常分别用语词“并非”、“并且”、“或者（可兼的）”、“如果...则”以及“当且仅当”表达，在这5个联结词中，否定词属一元联结词，其余 4个都是连接两个命题以构成复合命题，称为二元联结词。复合命题的形式都可以用这3类符号构成的公式表示。如塡p表示否定命题的形式，p∧q、p∨q、p→q、p凮q，分别依次表示合取、析取、蕴涵和等值命题的形式。它们是和 5个基本的联结词相应的5个基本的复合命题形式。

经典命题逻辑把命题看成或者真的或者假的，认为复合命题的真假可唯一地由其支命题的真假决定。命题的真和假叫做命题的真值。命题变元是取真值（真或假）为值的变元，也就是以真值组成的集合为变域的变元。联结词是施于命题以形成命题的算子，特别是从命题的真值得出命题真值的算子。命题形式是一种真值函项，即以真值集为变元的定义域，并以真值集为值域的函项。这种真值函项可以用真值表定义。5个基本命题形式的真值表为:这个真值表规定了其中联结词的意义。其中的1代表真，0代表假。从表中可以看出这 5个基本命题形式的值怎样由其中变元的值决定。例如，最左边的表表示，塡p 的值由p的值决定，当p的值为 1时，塡p的值为0；当p的值为0时，塡p的值为1。这也就是对塡的解释。

联结词可以相互定义，例如，∨可用塡和→定义，即把p∨q定义为塡p→q。事实上，所有联结词都可以用某些基本联结词定义出来。例如，所有联结词都可以归结到塡和→，或者塡和∧，或者塡和∨。

常真式或称重言式是经典命题逻辑的一个公式，称为常真的。如果其中的命题变元不论赋予真值1或0，该公式的值常为 1；如果对命题变元的每一组真值赋值一公式的值常为 0，此公式便称为常假式或矛盾式。命题逻辑的公式可以分为常真的、常假的、以及对命题变元的某些组赋值取值1而对其它赋值取值0的公式3种类型。常真式表达着命题逻辑的定律（规律），具有特殊的意义。

例如p∨塡p、p∧(p→q)→q，都是常真式。前者表示排中律，后者是表示肯定前件假言推理的推理形式的公式。一个公式是不是常真的，可以用真值表方法确定，即由依据 5个基本命题形式的真值表所逐步构造出的真值表确定。下表可以说明怎样用真值表确定一个公式的真值，确定一个公式是否常真。表中最后一横行圈内的数码表示逐步求值的次序，纵列⑦是要确定其是否常真的公式的真值，因其全部是1，从而表明该公式常真，是一常真式。我们用元语言符号Ａ 、Ｂ等表示任一公式，用喺Ａ表示Ａ是一常真式。还用Ａ喺Ｂ表示对于Ａ和Ｂ中出现的命题变元的每一组赋值，当Ａ的值为1时，Ｂ的值必定也是1。喺与公理系统所用到的儱不同，前者是语义符号，而后者是语法方面的符号，它表示在系统中可以证明。按照常真式的定义，显然有：一公式 A常真，当且仅当它的否定塡Ａ常假。

经典命题逻辑的常真式为数无穷，它们在一定意义上都表达逻辑定律。为了系统地研究和掌握这些逻辑定律，需要对它们作整体的考虑，将全部常真式都包括在一个系统之中。为此，可用公理方法将命题逻辑的全部定律系统化，从而得到一种形式系统，即称为命题演算的公理系统。在一个形式系统中，其语法部分，包括作为出发点的初始符号、形成规则、公理和变形规则。以下陈述的是经20世纪波兰逻辑学家J.卢卡西维茨简化过的弗雷格的系统。该系统的初始符号为：

（1）逻辑常项，即命题联结词，用塡、→表示；

（2）命题变元，以p、q、r、p1 、p2 ，...表示；

（3）括弧，即(，)。该系统的形成规则，在于规定怎样组合起来的有穷长的符号序列是系统中的合式公式。这个系统的形成规则有 4条：

（1）单独一个命题变元ｘ 是一合式公式； ②如果符号序列Ｘ是合式公式，则塡Ｘ是合式公式；

（3）如果符号序列Ｘ，Ｙ是合式公式，则(Ｘ→Ｙ)是合式公式。

（4）只有适合以上 3条的是合式公式。这个系统的公理共有 3条，即：

（1）儱p →(q →p)；

（2）儱(p →(q →r))→((p→q)→(p →r))；

（3）儱(塡p →塡q)→(q →p)。

变形规则也称推理规则。变形规则有两条：

（1）代入规则是将一公式 A中出现的命题变元π处处代以公式 B，得到公式


， 称为代入，以“如果儱Ａ，则儱


”表示。

（2）分离规则为“如果儱Ａ→Ｂ并且儱Ａ，则儱Ｂ”。

命题联结词∧、∨和凮可以通过定义引入，把

(Ａ∧Ｂ)定义为塡(Ａ→塡Ｂ)；

(Ａ∨Ｂ)定义为(塡Ａ→Ｂ)；

(Ａ凮Ｂ)定义为(Ａ→Ｂ)∧(Ｂ→Ａ)。

在上述规则、定义中出现的符号 ｘ，X，Y，Ａ，Ｂ等，是元语言符号。ｘ表示任意命题变元；X， Y 表示任意的符号序列；Ａ，Ｂ表示任一合式公式；儱是语法符号，表示紧跟在儱后面的公式是系统中的定理。

公式的有穷序列 Ａ1，Ａ2，...，Ａn称为是一个证明，如果其中每一Ａi(i=1，2，...，n)或者是公理，或者由在先的一个公式应用规则R1而得，或者由在先的两个公式应用规则R2而得。一个证明 Ａ1，Ａ1，...，Ａn也说是它的最后一个公式Ａn的证明。

一个公式Ｂ是系统中的定理，如果它有一个证明，即存在一个证明 Ａ1，Ａ1，...，Ａn，而Ａn即是 B。根据定理的定义，每一公理都是定理。一个公式是定理，当且仅当它是可证明的。

定理和可证明性都是语法概念。

这个系统的语义，即对符号和公式的解释，就是前面对于命题联结词和公式所作的解释，这个解释称为标准语义。此外还可作其他非标准的解释。在标准解释下，所有公理都是常真式，并且变形规则保持常真性，即把变形规则应用于常真公式而得到的公式也是常真式。由此表明，所有定理都是常真式， 也就是“如果儱Ａ，则喺Ａ”。这是关于这个演算系统的一个重要的元定理，称为可靠性定理。它的另一个重要的元定理是完全性定理，即凡常真式都是定理，可表示为“如果儱Ａ，则儱Ａ”。该系统还有一个重要的性质，即：在这个系统中不可能同时证明一个公式Ａ及其否定塡Ａ。这个性质称为一致性。

命题逻辑也可以用另一种形式实现系统化，即构造自然推理系统。自然推理系统是一种逻辑演算。它与公理系统相比，是在自然推理系统中，并不给出公理而只给出一组适当的初始推演规则。这些推演规则规定从什么前提能推出什么结论，或者规定在某个推理关系成立的条件下，另一个推理关系也成立。一个与简化过的弗雷格公理系统相应的自然推理系统，它的初始符号和形成规则和前者相同。这个系统共有 5条初始推演规则：

（1） Ａ1，Ａ1，...，Ａn儱Ａi（i=1，2，...，n），肯定前提规则；

（2）г儱Δ儱Ａ（Δ不空），演绎推理传递规则；

（3）如果г，塡Ａ儱Ｂ，并且г，塡Ａ儱塡Ｂ，则г儱Ａ，否定词消去规则，或称反证律；

（4） A→Ｂ，Ａ儱Ｂ，蕴涵词消去规则；

（5）如果г，Ａ儱Ｂ，则г儱Ａ→Ｂ，蕴涵词引入规则。

在这5条规则中，Ａ、Ｂ表示任一公式，г、Δ表示公式序列，儱表示前提和结论之间的推理关系。规则②表示从г能推出Δ，而从Δ能推出 A，则从г能推出 A，表明推理关系是传递的。在这一自然推理系统中，联结词∧、∨和凮也可以通过定义引入，并且从初始推演规则导出关于∧、∨和凮的推演规则。该系统对每一常真公式Ａ，都有儱Ａ，也就是说，凡常真式，都能不需前提而用推演规则推出；并且，如果儱Ａ成立，则Ａ为常真式。这个自然推理系统与简化过的弗雷格的系统有如下关系，即一个公式 A是公理系统中定理，在自然推理系统中就有儱Ａ；反之，如果儱Ａ成立，则Ａ是公理系统中的定理。同时，这个自然推理系统也具有一致性、可靠性和完全性这几个重要的元逻辑性质。