打破芝诺龟的悖论，牛顿－莱布尼茨公式

那么，阿喀琉斯是不是永远都追不上芝诺乌龟？

当然不是。

芝诺狡猾地把时间和空间一直分割了下去，假装完美地证明运动不存在。

他强行忽略了阿喀琉斯追芝诺乌龟的距离虽然有无限多个，但它们的“和”是一个有限的、确定的距离。相应地，他所用的时间间隔虽然也有无限多个，但“和”也是确定、有限的一段时间，现实中的阿喀琉斯总是在短时间内就追上了那只慢吞吞的乌龟。

这就是现代数学的微分与积分(主要是定积分)。

将时间和空间(距离)无限分割，无疑体现了无穷小量的思想，即微分的思想。而将这无限个小段以一定形式求和，得出一个确定的值，体现的恰好是定积分的定义。

从这个角度，我们可以说，对于芝诺乌龟悖论，芝诺只微分了，却没有积分。

微分和积分在历史上很长一段时间里是泾渭分明的两个领域，彼此毫无瓜葛。被芝诺这只“诡异”的乌龟刺激后，数学家们曾经前赴后继，苦苦钻研了无穷小量许久，但直到牛顿-莱布尼茨公式的出现，他们才真正把微分和积分联系起来。

这个以两位数学大师共同命名的公式，具体定义如下。

若函数f(x)在区间[a,b]上连续，且存在原函数F(x)，则∫f(x)dx=F(b)-F(a).看平平无奇,可它却被誉为“微积分基本定理”。

在这个基本定理中，原函数与导数(又名微商)有着莫大的渊源。

在古典微积分世界里，微分是无穷小量的缩影，而导数则由两个无穷小量的比值幻化而成：dy/dx。函数y=f(x)，dy是y的微分dx是x的微分，这也是导数被称为微分之商(微商)的缘由。几何图形对应的函数图像在某一点的导数是该函数图像在该点切线的斜率,如图4-2所示。

简单来说，对导数f(x)进行一个逆运算，就是求原函数F(x)。

对于一个定义在某区间的已知函数f(x)来说，如果存在可导函数F(x)，使在该区间内的任一点都有dF(x)=f(x)dx，则在该区间内就称函数F(x)为函数f(x)的原函数。

已知导数f(x)，求原函数F(x)，用微积分中的专业术语来说，就是求不定积分。不定积分与原函数是总体与个体的关系，若F(x)是f(x)的一个原函数，f(x)的不定积分就是一簇导数等于f(x)的原函数F(x)，即一个函数族{F(x)+C}，其中C是任意常数。

不定积分是原函数的一个集合。定积分是求函数f(x)在区间[a，b]上的图像包围的面积，它是给定区间上一种积分求和的极限，得出的结果是一个确定的数值。

不定积分与定积分原本毫不相干，但通过牛顿-莱布尼茨公式，当f(x)的原函数存在时,定积分的计算也可以转化为求f(x)的不定积分，即∫f(x)dx=F(b)-F(a)。

至此，不定积分为解决求导和微分的逆运算而提出，而牛顿-莱布尼茨公式又将定积分和不定积分连接了起来，打开了一个连续变化的数量世界，将微分与积分统一了起来,揭示了微分与积分的基本关系：在一定程度上，微分与积分互为逆运算。

微积分诞生，并由此正式形成了一个完整体系，成为数学帝国里的一门真正学科。懊恼的阿喀琉斯也总算是攻破了时空连续性，追上了芝诺这只笨拙的乌龟。

读书笔记：大学学过微积分，也大致了解一点微积分是什么意思以及牛顿的故事，但是没这么系统的看过，但是今天看完之后还是蒙圈的，这个内容在知识范围之外。到了高等数学部分真心不是一般人玩得动的，作为普通人，还是享受因为这个知识带来的科技成果吧！