已知二次函数y=x²+bx+c的图像经过点B（2，-3），C（0，-3），与x正半轴交于A

解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点C（0，-3），

∴c=-3，

将点A（3，0），B（2，-3）代入y=ax²+bx+c

得 0=9a+3b-3 -3=4a+2b-3 解得：a=1，b=-2．

∴y=x²-2x-3；

（2）①由题意可知：BP=OQ=01t，对称轴为直线x=1

点B，点C的纵坐标相等，

∴BC∥OA，

过点B，点P作BD⊥OA，PE⊥OA，垂足分别为D，E，

要使四边形ABPQ为等腰梯形，只需PQ=AB，

即QE=AD=1．

∵ED=BP=01t，DO=BC=2，

∴EO=2-01t，

又QE=OE-OQ=（2-01t）-01t=2-02t，

∴2-02t=1，

解得t=5．

即t=5秒时，四边形ABPQ为等腰梯形．

②设对称轴与BC，x轴的交点分别为F，G．

∵对称轴x=1是线段BC的垂直平分线，

∴BF=CF=OG=1．

又∵BP=OQ，

∴PF=QG．

又∵∠PMF=∠QMG，

∴△MFP≌△MGQ，

∴MF=MG，

∴点M为FG的中点，

∴S=S四边形ABPQ-S△BPN=S四边形ABFG-S△BPN．

由S四边形ABFG=1 2 (BF+AG)FG=9 2 ．

S△BPN=1 2 BP×1 2 FG=3 40 t，

∴S=9 2 -3 40 t．

又BC=2，OA=3，

∴点P运动到点C时停止运动，需要20秒．

∴0＜t≤20．

∴当t=20秒时，Smin=3．

解：函数f（x）为偶函数，

则f（x）=f（-x）

f（x）的增区间：[0，+∞），

减区间：（-∞，0]

若x∈[1/2，1]时，f(1+x㏒2(a))≤f(x-2)

∵x-2＜0，

∴当1+x㏒2(a)＜0，即a＜1/4时，

1+x㏒2(a)≥x-2，a≥1/4，与假设相矛盾

不符合题意

当0≤1+x㏒2(a)≤3/2，即1/4≤a≤√2时，

1+x㏒2(a)≤2-x，a≤1，满足题意

当1+x㏒2(a)＞3/2，即a＞2时，

1+x㏒2(a)≤2-x，a≤1与假设相矛盾，

不符合题意

综上所述，1/4≤a≤1