如何将函数理解为一个向量

(1)

n次多项式函数f=a0+a1·x+a2·x^2+…+an·x^n可被看作以{1，x，x^2，…，x^n}为基的n维线性空间中的向量，(a0，a1，…，an}是它的坐标。

(2)

基波角频率为1的非正弦周期函数的泰勒级数可被看作，以

{1，cos(x)，sin(x)，cos(2x)，sin(2x)，…，cos(nx)，sin(nx)，…}

为基的无限维线性空间中的向量，

傅里叶系数

(a0/2，a1，b1，a2，b2，…，an，bn，…)

是它的坐标

(3)

n+1阶可导函数f(x)在x0处的泰勒多项式，

可被看作以

{1，(x-x0)，(x-x0)^2，…，(x-x0)^n，(x-x0)^(n+1)}为基的(n+2)维线性空间中的向量。

(f(x0)，f'(x0)，f"(x0)/2！，…f(n')(x0)/n!

，f(n+1')(ξ)/(n+1)!}是它的坐标

(4)

有理分式

1/(x²-1)可被看作以{1/(x-1)，1/(x+1)}为基的二维线性空间中的向量，(1/2，-1/2)是它的坐标

以上距离供题主参考，不喜勿喷~

考虑 是一个 维向量空间， 是 上的一个函数（线性泛函），我们可以证明对于任意这样的函数 ，存在唯一的 ,使得 ,后者是 的内积。

为何呢？取 作为 的基，只要取 ,其中 就可以了。

这说明有限维空间上的任何映到 上的映射实际上可以看成该空间上的一个向量。

注意到 上的维度只有有限个。从另一个角度来说，只要 这 个数，就完全可以确定一个 上的函数 了。我们可以直观的理解为 上的函数有 个自由度，或是说是 维的。

学量子力学需要理解什么是函数空间（连续无穷维线性空间），或者Hilbert空间。其他的数学（像解微分方程什么的）都好学，只有Hilbert空间最难理解。整个量子力学的基础我觉得就是Hilbert空间，而物理系学生很多学了量子力学后还不知道什么是Hilbert空间（比如我自己）。