二元函数求全微分就是求偏导数？

嗯算是吧~呵呵 比如Z=Z(X,Y)

全微分的定义就是函数z=f(x, y) 的两个偏导数f'x(x, y), f'y(x, y)分别与自变量的增量△x, △y乘积之和f'x(x, y)△x + f'y(x, y)△y若该表达式与函数的全增量△z之差，当ρ→0时，是ρ( )的高阶无穷小，那末该表达式称为函数z=f(x, y) 在(x, y)处(关于△x, △y)的全微分。记作：dz=f'x(x, y)△x + f'y(x, y)△y

这里的f'x(x, y)和f'y(x, y)不就是偏导吗

手写公式是隐函数求导得出的。本题是显函数。

要用手写公式，应这样写：

令 F = x^2+y^2+z^2-u, 则 Fu = -1，

Fx = 2x+2z∂z/∂x = 2x+4xzsiny = 2x+4x^3(siny)^2,

Fy = 2y+2z∂z/∂y = 2x+2zx^2cosy = 2x+x^4sin2y,

∂u/∂x = -Fx/Fu = 2x+4x^3(siny)^2,

∂u/∂y = -Fy/Fu = 2x+4x^3(siny)^2

二元隐函数 z=f(x,y) "求一阶时,能把Z看作常数对X求偏导" 是指：

令 F(x,y,z)=f(x,y)-z,F'=∂f/∂x,F'=∂f/∂y,F'=-1,则

∂z/∂x=-F'/F'=∂f/∂x,∂z/∂y=-F'/F'=∂f/∂y,

注意,这里是 F(x,y,z) 求一阶偏导数时,是把Z看作常数,将 F(x,y,z) 分别对X,y求偏导!

而不是 z=f(x,y) 求一阶偏导数时,把Z看作常数,z 本来就是x,y的函数!

若对 z(x,y) 求二阶偏导时,即把 ∂z/∂x,∂z/∂y 再分别对x,y求偏导时,

因 ∂z/∂x,∂z/∂y 都是 x,y的函数,自然要把Z,∂z/∂x,∂z/∂y 都看作X和Y的函数

偏导数的定义

设有二元函数z=f(x,y)，点(x0,y0)是其定义域D内一点把y固定在y0而让x在x0有增量△x，相应地函数

z=f(x,y)有增量(称为对x的偏增量)

△xz=f(x0+△x)-f(x0,y0)

如果△xz与△x之比当△x→0时的极限

存在，

那末此极限值称为函数z=f(x,y)在(x0,y0)处对x的偏导数。

记作：f'x(x0,y0)或

关于对x的偏导数的问题

函数z=f(x,y)在(x0,y0)处对x的偏导数，实际上就是把y固定在y0看成常数后，一元函数z=f(x,y0)在x0处的导数

同样，把x固定在x0,让y有增量△y,如果极限

存在，

那末此极限称为函数z=(x,y)在(x0,y0)处对y的偏导数

记作f'y(x0,y0)或

偏导数的求法

当函数z=f(x,y)在(x0,y0)的两个偏导数f'x(x0,y0)与f'y(x0,y0)都存在时，

我们称f(x,y)在(x0,y0)处可导。如果函数f(x,y)在域D的每一点均可导，

那末称函数f(x,y)在域D可导。

此时，对应于域D的每一点(x,y)，必有一个对x(对y)的偏导数，因而在域D确定了一个新的二元函数，

称为f(x,y)对x(对y)的偏导函数。简称偏导数。

例题：求z=x2siny的偏导数

解答：把y看作常量对x求导数，得

把x看作常量对y求导数，得

注意：二元函数偏导数的定义和求法可以推广到三元和三元以上函数。

例题：求的偏导数。

解答：我们根据二元函数的偏导数的求法来做。

把y和z看成常量对x求导，得

把x和z看成常量对y求导，得

把x和y看成常量对z求导，得

复合函数二阶偏导数公式是：

∂z/∂x=[√(x²+y²)-x·2x/2√(x²+y²)]/(x²+y²)=y²/[(x²+y²)^(3/2)]

∂z/∂y=-x·2y/2√(x²+y²)^(3/2)]=-xy/[(x²+y²)^(3/2)]

∂²z/∂x²=-(3/2)y²·2x/[(x²+y²)^(5/2)]=-3xy²/[(x²+y²)^(5/2)]

∂²z/∂x∂y=[2y·[(x²+y²)^(3/2)-y²·(3/2)·[(x²+y²)^(1/2)2y]/[(x²+y²)³]

当函数z=f(x,y)在(x0,y0)的两个偏导数f'x(x0,y0)与f'y(x0,y0)都存在时，我们称f(x,y)在(x0,y0)处可导。假如函数f(x,y)在域D的每一点均可导，那么称函数f(x,y)在域D可导。

此时，对应于域D的每一点(x,y)，必有一个对x(对y)的偏导数，因而在域D确定了一个新的二元函数，称为f(x,y)对x(对y)的偏导函数。简称偏导数。

按偏导数的概念，将多元函数关于一个自变量求偏导数时，就将其余的自变量看成常数，此时他的求导办法与一元函数导数的求法是一样的。