凸函数到底是上凸还是下凸？

在二维环境下，就是通常所说的平面直角坐标系中，可以通过画图直观地看出一条二维曲线是凸还是凹，当然它也对应一个解析表示形式,就是那个不等式。

但是，在多维情况下，图形是画不出来的，这就没法从直观上理解“凹”和“凸“的含义了，只能通过表达式，当然n维的表达式比二维的肯定要复杂

但是，不管是从图形上直观理解还是从表达式上理解，都是描述的同一个客观事实。而且，按照函数图形来定义的凹凸和按照函数来定义的凹凸正好相反。

凸函数,是数学函数的一类特征。

凸函数就是一个定义在某个向量空间的凸子集C（区间）上的实值函数。

用反证法 设两函数有三个交点 则F（x）=f（x）-g（x） 有三个零点 利用两次罗尔定理得到 存在n使得 F"(n)=0,

而f（x）g（x）一个为凸函数一个为凹函数 => F（x）的二次导函数要么大于0要么小于0 所以矛盾

前提条件是定义域是全体实数R

证明：对于严格凸函数f(x),可以肯定的是它不是常函数，必存在f(x-m)<f(x)或f(x-m)>f(x)

其中m>0, 不妨设f(x-m)<f(x),

由凸函数的性质，f(x+m)-f(x)>f(x)-f(x-m),因此f(x+2m)-f(x+m)>f(x+m)-f(x)>f(x)-f(x-m)

如此下去，f(x+nm)-f(x-m)>n[f(x)-f(x-m)]且f(x)-f(x-m)>0可知f(x+nm)-f(x-m)无上界，也就是说f(x+nm)无上界，故f(x)无上界

若f(x-m)>f(x)证法同此

可按如下方法准确说明：

1、f(λx1+(1-λ)x2)<=λf(x1)+(1-λ)f(x2) ， 即V型，为“凸向原点”，或“下凸”（也可说上凹），（有的简称凸有的简称凹）

2、f(λx1+(1-λ)x2)>=λf(x1)+(1-λ)f(x2) ， 即A型，为“凹向原点”，或“上凸”（下凹），（同样有的简称凹有的简称凸）

设函数f(x)在区间I上定义，若对I中的任意两点x1和x2,和任意λ∈(0,1)，都有f(λx1+(1-λ)x2)>=λf(x1)+(1-λ)f(x2)，则称f为I上的凸函数。

若不等号严格成立，即“>”号成立，则称f(x)在I上是严格凸函数。如果">=“换成“<=”就是凹函数。类似也有严格凹函数。

扩展资料

凹函数的性质：

如果一个可微函数f它的导数f'在某区间是单调上升的，也就是二阶导数若存在，则在此区间，二阶导数是大于零的，f就是凹的；即一个凹函数拥有一个下跌的斜率（当中下跌只是代表非上升而不是严谨的下跌，也代表这容许零斜率的存在。）

如果一个二次可微的函数f，它的二阶导数f'(x)是正值（或者说它有一个正值的加速度），那么它的图像是凹的；如果二阶导数f'(x)是负值，图像就会是凸的。当中如果某点转变了图像的凹凸性，这就是一个拐点。

如果凹函数（也就是向上开口的）有一个“底”，在底的任意点就是它的极小值。如果凸函数有一个“顶点”，那么那个顶点就是函数的极大值。

如果f(x)是二次可微的，那么f(x)就是凹的当且仅当f''(x)是非正值。如果二阶导数是负值的话它就是严谨凹函数，但相反而言又不一定正确

-函数的凹凸性

-凹函数