母函数与特征函数

    设随机变量X取非负整数值，对应的分布列为P(X=k)=pk,k=0,1,2；则称 为X的母函数。   

    易知， 时，上述级数一致收敛且绝对收敛。

    ①    唯一性：母函数与分布函数相互决定。

    ②    数字特征：利用母函数可以求得数字特征。

    设随机变量X的分布函数为 ,则称

     为X的特征函数。

    ①    

    ②    特征函数在定义域上一直连续

    ③    特征函数非负

    ④    随机变量之和的特征函数，为各自特征函数之积（避免卷积）

    ⑤    设随机变量X的n阶矩存在，则特征函数可以微分n次，且

    ⑥    唯一性，特征函数与分布函数一一对应

这样简化是不对的……

显然由于期望函数的线性性质，E(CZi)=CE(Zi)=0(因为EZ=0)

其实原题的左边就是随机变量的矩母函数（moment generating function）的定义啊，正态的矩母函数超重要的。

证明：

E(exp(CZi))=将{exp(-05x^2+cx)/根号(2pai)}dx从负无穷到无穷

=将{exp(-05(x-c)^2+05c^2)/根号(2pai)}dx从负无穷到无穷

=将{exp(-05(x-c)^2+05c^2)/根号(2pai)}d(x-c)从负无穷到无穷(变量代换)

=将{exp(-05y^2+05c^2)/根号(2pai)}dy从负无穷到无穷

=[将{exp(-05y^2)/根号(2pai)}dy从负无穷到无穷]exp(05c^2)(积分里面是标准正态的密度函数)

=exp(05c^2)

林德伯格中心极限定理的证明

中心极限定理：概率论中关于独立的随机变量序列的部分和的分布渐近于正态分布的一类定理，是概率论中最重要的一类定理，有广泛的实际应用背景，常见的是关于独立同分布随机变量之和的中心极限定理，即林德伯格列维定理。

林德伯格列维定理: 设为独立同分布的随机变量序列，且。令=，那么当时，随机变量依分布收敛于服从标准正态分布的随机变量，即

引理（特征函数的定义及性质）

随机变量的特征函数；

独立随机变量和的特征函数等于每个随机变量特征函数的乘积。

证明：用特征函数来证明。

令，于是有：独立同分布，且。

设的特征函数为 (正态随机变量的概率密度函数)，则的特征函数为，当，有，则可以将在点附近泰勒展开。

，对于，易知，，所以代入上式，得然后令，有

，由于正好是服从标准正态分布的随机变量的特征函数，即的特征函数收敛于标准正态分布随机变量的特征函数，所以由特征函数理论可得知，的分布函数弱收敛于（依分布收敛于）标准正态分布随机变量的分布函数，即

随机变量

证毕。

一阶原点矩就是数学期望，数学期望(mean)（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。

二阶中心矩，也叫作方差，它告诉我们一个随机变量在它均值附近波动的大小，方差越大，波动性越大。方差也相当于机械运动中以重心为转轴的转动惯量。三阶中心矩告诉我们一个随机密度函数向左或向右偏斜的程度。

方差不仅仅表达了样本偏离均值的程度，更是揭示了样本内部彼此波动的程度，也可以理解为方差代表了样本彼此波动的期望。当然，这个结论目前是在二阶统计矩下成立。

扩展资料

中心矩则类似于方差，先要得出样本的期望即均值，然后计算出随机变量到样本均值的一种距离，与方差不同的是，这里所说的距离不再是平方就能构建出来的，而是k次方。

方差是和中心偏离的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）并把它叫做这组数据的方差，记作S2。 在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定。

-原点矩

-矩阵