函数连续性的判断

判断连续用定义法,函数f(x)在点x0是连续的,是指

lim(x→x0)f(x)=f(x0)

函数在某个区间连续是指

任意x0属于某个区间都有以上的式子成立

还有一条重要结论：初等函数在其有意义的定义域内都是连续的

从图像上看,可导函数是一条光滑曲线,即没有出现尖点,如y=x绝对值在x=0处是尖点,故不可导而且因为可导必连续,所以不连续点（间断点）一定不可导

从定义上,f'(x0)=lim△x→0 [f(x0+△x)-f(x0)]/△x

我们必须求出函数f(x) 在x=x0处可导的充分必要条件是x=x0处的左右导数都存在且相等,即f'(x0-0)=f'(x0+0)

(1)函数f（x）在点x0处可导，知函数f（x）在点x0处连续

(2)函数f（x）在点x0处可导，知函数f（x）在点x0存在切线。

(3)函数f（x）在点x0处可导，知函数f（x）在点x0处极限存在。

函数一致连续性的判别方法如下：

若f(x)在区间上(a,b)（可以是闭区间，开区间，或者无限区间）上连续，且其一阶导数有界，即存在M>0，使得|f'(x)|<=M，则f(x)在区间(a,b)上一致连续。

f(x)=e^x，在(0,+∞)上，f‘(x)=e^x显然是无界的，所以e^x在(0,+∞)是非一致连续的。但是在闭区间上它是一致连续的。所以一致连续的判断还要看它所取区间。

用一致连续的定义当然能解决所有函数一致连续性的判定，但是用定义证明往往需要很高的技巧，而且在本身不知道是否一致连续时，就更加困难了。

因此在判定是否一致连续时，使用相关的定理会使问题变得简单的多。首先闭区间上连续的函数一定一致连续，这自不必说。对于有限开区间，也有很好的定理，由于是充要条件，所以这个定理完全解决了有限开区间上一致连续的判断问题。

所以判断一致连续的困难就在于无限开区间，它也有相关的定理。注意第一条不是一致连续的必要条件，例如y=x在x趋于无穷时无有限极限，甚至无界，但也是一致连续的，另外有界也不能保证一致连续，例如y=sinx^2。用这三个定理可以很方便的解决绝大多数函数一致连续的判定问题。

连续是函数的一种属性。直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。如果输入值的某种微小的变化会产生输出值的一个突然的跳跃甚至无法定义，则这个函数被称为是不连续的函数（或者说具有不连续性）。

1、分母不可为0，所以x=1或x=2为断点，分为x<1，1<x<2，x>2共3段连续区间。

2、对数指数大于零，x<2就是连续区间。

3、根号内必须大于等于0，4≤x≤6就是连续区间。

4、arcsinx>0，再由arcsinx的定义域[-π/2，π/2]得连续区间是(0，π/2]。

扩展资料：

连续函数：

1、连续性定义：若函数f(x)在x0有定义，且极限与函数值相等，则函数在x0连续 

2、充分条件：若函数f(x)在x0可导或可微（或者更强的条件），则函数在x0连续  

3、必要条件：若函数f(x)在x0无定义、或无极限、或极限不等于函数值，则在x0不连续 

4、观察图像（这个不严谨，只适用直观判断） 

5、记住一些基本初等函数的性质，大部分初等函数在定义域内都是连续的 

6、连续函数的性质：连续函数的加减乘，复合函数等都是连续的

-连续 （数学名词）

根据函数的连续性定义来判断。

函数连续性定义：

对定义域内任意一个x0，在x0的领域内都有limf(x)=f(x0)(x->x0)

即函数在x0处的极限值等于该点的函数值时，由函数在该点连续，如果函数在定义域内的每一个点都连续，则该函数在定义域内连续。

从图像上看，函数连续，则图像是一条不断开的曲线。如果从某点处断开，则函数在该点就不连续了。

第一：从原式判断这个函数是不是有没有定义的点，还要知道他要求的区间，比如y=1/x，分母是取不到x=0的，你区间要求是负无穷到正无穷的话，那在x=0点是取不到的，肯定是不连续的，要求是0到正无穷，或者是负无穷到0的话，这是连续的。

第二：就是间断点，比如是分段函数，这个你就要求他这个分段点的左极限和右极限，看是否相等，相等就是连续，不等就是不连续。