关于线性函数特性的问题

(1)上面定义的“线性函数”，它的线性性质如果完整地表达又叫做“双线性”，第一条叫做数乘线性或者齐次线性，第二条叫做可加线性。这一概念通常在线性空间或者线性变换里用到。

(2)对于“线性方程“中的线性概念，它主要是类比于常见的一次方程或者一次方程组，所以它的”线性“要求没有这么严格。实际上，对于非齐次的线性方程，它不仅不满足数乘线性，而且还不满足可加线性。

总的来说可以这么理解：前者是严格的线性空间概念，后者是一个直观的几何概念

有理函数域(rational function field)是一种重要的纯超越扩张。纯超越扩张是一类重要的超越扩张。设扩域K在F上的超越基为S，若K=F(S)，则称此域扩张为纯超越扩张，K为F的纯超越扩域

http://classhtucn/gdds/chapter6/6-2htm

§2 线性空间的定义与简单性质

一 线性空间的定义与例子

线性空间是线性代数的基本概念之一，也是我们碰到的第一个抽象的概念。为说明线性空间的来源，在引入其定义之前，先看以下几个例子。

例1 在解析几何中，讨论过三维空间中的向量。向量的基本属性是可以按平行四边形规律相加，也可以与实数作数量乘法。因此把R3中所有向量的集合记为V，则V中元素之间就有加法，对V中的元可以有数乘这两种运算。

例2 为了解线性方程组，我们讨论过以n元有序数组(a1，a2，…，an)作为元素的n维向量空间，对于它们，也有加法与数乘，即

(a1，a2，…，an) + (b1，b2，…，bn) = (a1+b1，a2+b2，…，an+bn)

k(a1，a2，…，an) = (ka1，ka2，…，kan)

例3 对于函数，也可以定义加法和函数与实数的数量乘法。如，考虑全体定义在区间 [a，b] 上的连续函数，已知，连续函数的和是连续函数，连续函数与实数的数量乘积还是连续函数。

从以上三个例子可以看出，我们所考虑的对象虽然不同，但是它们有一个共同点，那就是它们都有加法和数量乘法这两种运算。当然，随着对象的不同，其运算也是不同的。但是，当抽去这些集合中对象（元素）的具体形式及定义运算的具体规则（例如函数的加法规则与向量加法的规则是完全不同的。）之后，从代数运算所遵从的规律上看，如果与普通向量上的运算规律并无本质的不同，那么，也可把这些集合中的对象（元素）称为“向量”。当我们把这些对象当作向量之后，所研究的理论或实际问题通常变得非常简便。例如，在第三章讨论线性方程组时已经见到的，当把全体未知量作为一个n维向量来处理，使问题的讨论大为简化。因此，为了抓住它们的共同点，把它们统一起来加以研究，引入线性空间的概念。

在例1中，我们用实数和向量相乘，例2中用什么数和向量相乘要看具体情况。若在有理数域中解线性方程组时，用有理数去作数量乘法就已经足够了，而在复数域中解线性方程组时，就需要用复数去作运算。可见，不同的对象与不同的数域相联系，当引入抽象的线性空间的概念时，也必须选定一个确定的数域作为基础。

定义1 设V是一个非空集合，P是一个数域，在集合V的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法；这就是说，给出了一个法则，对于V中任意两个元素 与 ，在V中都有唯一的一个元素 与它们对应，称为 与 的和，记为 = + 。在数域P与集合V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法；这就是说，对于数域P中任一数k与V中任一元素 ，在V中都有唯一的一个元素 与它们对应，称为k与 的数量乘积，记为 =k 。如果加法与数量乘法满足下述规则(下面八条)，那么V称为数域P上的线性空间。

加法满足下面四条规则：

1) + = + ；

2) ( + )+ = +( + )；

3) 在V中有一个元素 ，对于V中任一元素 ，都有

+ = ；

(具有这种性质的元素 称为V的零元素)

4) 对于V中每一个元素 ，都有V的元素 ，使得

+ = ；

( 称为 的负元素)

数量乘法满足下面两条规则：

5) 1 =

6) k(h )=(kh)

数量乘法与加法满足下面两条规则：

7) (k+h) =k +h ;

8) k( + )=k +k

在以上规则中，k，h等表示数域P中的任意数； ， ， 等表示集合V中任意元素。

由定义可知，几何空间中全部向量组成的集合是一个实数域上的线性空间，可记为R3；分量属于数域P的全体n元数组构成数域P上的一个线性空间，这个线性空间用Pn表示。

例3． [a，b] 上连续函数之集是实数域上的线性空间，可用C[a，b]表示。

下面再来举几个例子。

例4—例7(P244)

线性空间的元素也称为向量，线性空间有时也称为向量空间。

今后我们常用黑体的小写希腊字母 ， ， ，… 代表线性空间V中的元素，用小写的拉丁字母a，b，c，…代表数域P中的数。

二 简单性质

由定义我们可直接证明线性空间的一些简单性质。

1 零元素是唯一的。

2 负元素是唯一的。

3 0 = ；k = ；( ) = (参见P116，证明完全相同)

4 如果k = ，那么k = 0或者 = 。

这些性质的证明见书P245，另外要注意一些记法和规定。

向量 的负元记为 。利用负元素定义减法如下

= +

作业：3 6)，7)，8)