gamma函数

gamma函数是阶乘函数对非整数值的扩展的概括，由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉在 18 世纪提出。

对于一个正整数N, 阶乘定义为  n ! = 1 × 2 × 3 ×⋯× ( n  − 1) ×  n 举例来说， 5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120 但是这个公式对于不是整数的n毫无意义。

为了把阶乘扩展到任意大于零的实数，gamma函数被定义为

使用积分技术, 可以证明Γ(1) = 1 使用分部积分，可以得出gamma函数有以下的递归的特性：if  x  > 0, then Γ( x  + 1) =  x Γ( x )，由此可知， Γ(2) = 1 Γ(1) = 1; Γ(3) = 2 Γ(2) = 2 × 1 = 2!; Γ(4) = 3 Γ(3) = 3 × 2 × 1 = 3!; 等等。通常，如果 x 是自然数 (1, 2, 3,)，则 Γ(x) = (x − 1)！只要实部大于或等于 1，该函数就可以扩展到负的非整数实数和复数。 虽然 gamma 函数的行为类似于自然数（离散集）的阶乘，但其扩展到正实数（连续集）可用于对涉及连续变化的情况进行建模，对微积分、微分方程、复数分析和统计有重要应用。

伽玛函数（Gamma Function）作为阶乘的延拓，是定义在复数范围内的亚纯函数，通常写成 。

（1）在实数域上伽玛函数定义为：

（2）在复数域上伽玛函数定义为：

其中 ，此定义可以用解析开拓原理拓展到整个复数域上，非正整数除外。

　　（3）除了以上定义之外，伽马函数公式还有另外一个写法：

我们都知道 是一个常用积分结果，公式（3）可以用 来验证。

可以利用伽玛函数为求解积分，伽马函数为Γ(α)=∫x^(α-1)e^(-x)dx。

利用伽玛函数求e^(-x^2)的积分，则令x^2=y，dx=(1/2)y^(-1/2)dy，有∫(e^(-x^2)dx=(1/2)∫y^(-1/2)e^(-y)dy。而∫y^(-1/2)e^(-y)dy是α=1/2时，伽玛函数Γ(α)的表达式。

在负无穷到正无穷上，∫(e^(-x^2)dx=(1/2)Γ(1/2)。

扩展资料

求解积分时，利用伽玛函数，函数的1/2处的值为：

对x∈（0，1） ，有

这个公式称为余元公式。由此可以推出以下重要的概率公式：

伽玛函数（Gamma函数），也叫欧拉第二积分，是阶乘函数在实数与复数上扩展的一类函数。该函数在分析学、概率论、偏微分方程和组合数学中有重要的应用。与之有密切联系的函数是贝塔函数，也叫第一类欧拉积分。可以用来快速计算同伽马函数形式相类似的积分。

在实数域上伽玛函数定义为：

（2）在复数域上伽玛函数定义为：

参考资料-伽玛函数

如下图：

伽玛函数（Gamma函数），也叫欧拉第二积分，是阶乘函数在实数与复数上扩展的一类函数。该函数在分析学、概率论、偏微分方程和组合数学中有重要的应用。与之有密切联系的函数是贝塔函数，也叫第一类欧拉积分，可以用来快速计算同伽马函数形式相类似的积分。

相关信息：

1728年，哥德巴赫在考虑数列插值的问题，通俗的说就是把数列的通项公式定义从整数集合延拓到实数集合，例如数列1,4,9,16可以用通项公式n²自然的表达，即便 n 为实数的时候，这个通项公式也是良好定义的。直观的说也就是可以找到一条平滑的曲线y=x²通过所有的整数点(n,n²),从而可以把定义在整数集上的公式延拓到实数集合。一天哥德巴赫开始处理阶乘序列1,2,6,24,120,720,,我们可以计算2!,3!,是否可以计算25!呢？我们把最初的一些(n,n!)的点画在坐标轴上，确实可以看到，容易画出一条通过这些点的平滑曲线。

伽马分布期望推导公式：D(X)=E(X^2)-(E(X))^2。

取决于所选择的概率密度函数的形式。通常情况下，具有两种形式，这两种形式的概率密度函数有一点小差别（即参数的选择上，形状参数相同，而第二个参数互为倒数关系）。伽马分布的期望要看使用的函数表达式 一般的表达式中期望等于αβ，方差等于α(β^2)。

伽玛函数（Gamma函数）

也叫欧拉第二积分，是阶乘函数在实数与复数上扩展的一类函数。该函数在分析学、概率论、偏微分方程和组合数学中有重要的应用。与之有密切联系的函数是贝塔函数，也叫第一类欧拉积分，可以用来快速计算同伽马函数形式相类似的积分。