函数概念及其表示方法知识点

1、函数的概念：

设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y=f(x)，x∈A。

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域。

注意：

如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；

函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式。

（补充）定义域：

能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：

（1）分式的分母不等于零；

（2）偶次方根的被开方数不小于零；

（3）对数式的真数必须大于零；

（4）指数、对数式的底必须大于零且不等于1；

（5）如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合；

（6）指数为零底不可以等于零；

（7）实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义。

注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。

2、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域

注意：

（1）构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域。由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等(或为同一函数)

（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 （两点必须同时具备）

（补充）值域：

（1）函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法，求函数的值域都应先考虑其定义域。

（2）应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。

3、函数图象知识归纳

（1）定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象。

C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上，即记为C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A }。

图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线)，也可能是由与任意平行于Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。

（2） 画法

A 描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x, y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来。

B 图象变换法（请参考必修4三角函数）

常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换

（3）作用：

A 直观的看出函数的性质；

B 利用数形结合的方法分析解题的思路，提高解题的速度。

C 发现解题中的错误。

定义域 指该函数的有效范围，其关于原点对称是指它有效值关于原点对称 。函数的定义域就是使得这个函数关系式有意义的实数的全体构成的集合。例如：函数y=2x+1,规定其定义域为-10，10，就是对称的。

1f(x)=1/( x-|x| )

定义域因为|x|不等于x

当x≥0时|x|=x

当x＜0时|x|不等于x

所以定义域为｛x|x＜0｝

2f(x)=1/(1+1/x)

定义域1+1/x不等于0

所以x不等于-1

有因为分母不能为0

所以x不等于0

所以函数的定义域为｛x|x不等于0且x不等于-1｝

3f(x)=√(x+1)+1/(2-x)

因为有根号,所以根号内的数不能为负数

x+1≥0 x≥-1

分母不为0 2-x不等于0 所以x不等于2

所以此函数的定义域为｛x|-1≤x＜2或x＞2｝

4f(x)=√(x+4)/(x+2)

因为有根号,所以根号内的数不能为负数

x+4≥0 x≥-4

分母不为0 2+x不等于0 所以x不等于-2

所以此函数的定义域为｛x|-4≤x＜-2或x＞-2｝

5f(x)=√(1-x)+√(x+3)-1

因为有根号,所以根号内的数不能为负数

1-x≥0,x+3≥0

x≤1,x≥-3

所以此函数的定义域为｛x|-3≤x≤1｝

函数的自变量(比如x)的取值范围，就是函数的定义域；函数的因变量的取值范围，就是函数的值域。定义域和值域是针对“函数”来说的：在某一变化过程中，两个变量x、y，对于x的每一个值，y都有唯一的值和它对应，y就是x的函数。这种关系一般用y=f（x）来表示。其中x叫做自变量，y叫做因变量。

函数定义域的求法：

1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示。

2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题。

3、对复合函数y=f 的定义域的求解，应先由y=f (u)求出u的范围，即g(x)的范围，再从中解出x的范围I1;再由g (x)求出y=g (x)的定义域I2，I1和I2的交集即为复合函数的定义域。

4、分段函数的定义域是各个区间的并集。

5、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明。

6、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域。

可以。因为这两种写法是完全等价的，所以是完全可以用区间表示。正切函数定义域区间表示为(kπ-π/2，kπ+π/2)，正切函数y=tanx的定义域是｛xⅠx∈R，x≠kπ+π/2，k∈Z｝。

如果自变量x的取值范围是实数,那么函数的定义域就是实数的集合,我们就用实数集合的表示法来表示函数的定义域

问题中的分段函数的定义域可以(用实数集合的表示法)表示如下：

集合表示法：(定义域)X={x∣-5≤x≤0和2≤x＜6}；

不等式表示法：-5≤x≤0和2≤x＜6；

区间表示法：x∈[-5,0]和x∈[2,6)；

图形表示法：在实数轴上做出相应的图形,略,等等

以上的表示法都是对的,至于具体采用哪种方法来表示,可根据题目的要求来做

另外,语句“比如一个分段函数的两个定义域是-5≤x≤0和2≤x＜6,该如何表示此函数的定义域”中“两个定义域”的说法欠妥,因为,一个分段函数只是一个函数,一个函数只谈一个定义域；

同理,语句“如果求一个分段函数的定义域,且每个定义域互相之间都是不连续的,该如何表示此函数的定义域”中“每个定义域”应该说成“每部分定义域”

定义域是函数y=f(x)中的自变量x的范围。

求函数的定义域需要从这几个方面入手：

（1），分母不为零 

（2），偶次根式的被开方数非负。

（3），对数中的真数部分大于0。

（4），指数、对数的底数大于0，且不等于1

（5），y=tanx中x≠kπ+π/2,

y=cotx中x≠kπ等等。值域是函数y=f(x)中y的取值范围。

常用的求值域的方法：（1）化归法；（2）图象法（数形结合），（3）函数单调性法，（4）配方法，（5）换元法，（6）反函数法（逆求法），（7）判别式法，（8）复合函数法，（9）三角代换法，（10）基本不等式法，（11）分离常数法等。

扩展资料：

1、化归法：

在解决问题的过程中，数学往往不是直接解决原问题，而是对问题进行变形、转化，直至把它化归为某个（些）已经解决的问题，或容易解决的问题。 

把所要解决的问题，经过某种变化，使之归结为另一个问题，再通过问题的求解，把解得结果作用于原有问题，从而使原有问题得解，这种解决问题的方法，我们称之为化归法。

2、复合函数法：

多元函数微分学是数学分析领域的重要内容。在多元函数微分学中，主要讨论的是多元函数的可微性及其应用，而二元函数的可微性则是多元函数可微性研究的重点。复合函数微分法则是二元函数可微性的进一步研究。

3、三角代换法：

三角代换是利用三角函数的性质将代数或几何问题转化成三角问题，使题目得以突破的解题方法。实质是换元思想，体现了“三角”是数学中的工具的特征，恰当地利用三角代换有助于培养学生联想和类比的能力。

4、换元法：

换元法又称变量替换法 , 是我们解题常用的方法之一 。利用换元法 , 可以化繁为简 , 化难为易 , 从而找到解题的捷径 。

解一些复杂的因式分解问题，常用到换元法，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化，明朗化，在减少多项式项数,降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用。

5、分离常数法

把分子分母中都有的未知数变成只有分子或者只有分母的情况，由于分子分母中都有未知数与常数的和，所以一般来说我们分拆分子，这样把分子中的未知数变成分母的倍数，然后就只剩下常数除以一个含有未知数的式子。

定义域 指该函数的有效范围,其关于原点对称是指它有效值关于原点对称 例如：函数y=2x+1,规定其定义域为[-10,10],就是对称的

222 函数的定义域

知识建构

学习目标:

1,会求简单函数的定义域;

2,理解复合函数的定义域问题

要点扫描:

1,求函数定义域需考虑的因素

____________

2,已知的定义域A,求的定义域:_______

3,已知的定义域M,求的定义域:________

范例示导

例1:求下列函数的定义域

①

②

①根据题意得:

∴

∴原函数定义域为(-∞,0)

②根据题意得

∴

∴原函数的定义域为(-1,1)∪(1,6)

例2:已知的定义域为[0,2],若,求的定义域

的定义域为下列不等式的解集:

∴

即的定义域为[]

例3:已知函数的定义域是[0,1],求的定义域

函数的定义域为下列不等式组的解集:

即

当时,的定义域为[]

当时,的定义域为[]

当或时,不等式组解集为,这时不能构成函数

学能自测

选择题

1,函数的定义域是( )

A,[-1,1]

B,(-∞,-1)∪[1,+∞)

C,[0,1] D,{-1,1}

2,函数的定义域是[],其中,则函数的定义域是( )

A,[] B,[]

C,[] D,[]

3,已知函数的定义域为R,则实数的取值范围是( )

A,B,或

C,D,或

4,若函数的定义域为A,的定义域为B,的定义域为C,则集合A,B,C之间的关系是( )

A,A=B∩C B,AB∩C

C,AB∩C D,AB∪C

填空题

5,的定义域是

________

6,当定义域是 时,函数与函数是同一函数

7,若的定义域是[0,2],则的定义域是

8,函数的定义域是[0,1],且的定义域是非空数集,则实数的取值范围是__

____

9,已知函数的值域是{}∪{},求此函数的定义域

10,已知函数的定义域与值域都是[1,],其中>1,求实数的值

11,已知的定义域是

[-2,3),求的定义域

拓展探究

对于任意,函数的值总大于0,求的取值范围

参 考 答 案

学能自测

1,D 2,B 3,D 4,C

5,

6,(1,+∞)

7,[1,]∪[-,-1]

8,[-3,1]

9,

10,3

11,(-∞,-]∪(,+∞)

拓展探究:

将视为自变量,上式整理成:

设

则的图象是一条直线,要使时,>0,有:

∴

∴或

故的取值范围为(-∞,1)∪(3,+∞)