地震波的动力学特征

由震源激发的纵(横)波经地下传播并被人们在地面或井中接收到的地震波，通常是一个有一定长度的脉冲振动，用数学公式表示就是前节讨论的位移位或位移解。该式是一个函数表达式，它描述了介质质点的振动规律，应用信号分析领域中的广义术语，可称为振动信号，在地球物理领域称为地震子波。对一个随时间变化的振动信号，描述其特征的有振动幅度(简称振幅)A、振动频率ƒ(或周期T)、初相位φ，若考虑信号随空间变化，则还有波长λ或波数k。称用于描述地震波振动特征的参数A、ƒ、T、φ、λ、k为地震波动力学参数。所谓地震波的动力学特征就是由地震波的动力学参数来体现的。以下讨论以球面纵波为例。

1331 球面纵波的传播特点

球面纵波的位移解为式(13-15)，在位移解UP的表达式中，其振动幅度既与传播距离r2、r有关，又与震源函数Φ(t)及Φ′(t)有关。分两种情况讨论。

13311 近震源情况

当靠近震源时，r比较小，有条件

地震勘探原理、方法及解释

则

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可见在近震源时，质点位移UP与震源函数Φ(t)成正比，与r2成反比。

13312 远震源情况

当波传播远离震源时，r比较大，这时有

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则

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在远离震源时，质点位移UP与震源函数的一阶导数Φ′(t)成正比，与传播距离r成反比。

综合两种情况可得出以下结论：

1)在近源区，质点振动规律(波函数)主要由震源函数Φ(t)确定，而在远震源区，质点振动规律主要由Φ′(t)确定。说明随着传播距离r的变化，地震子波函数在不断发生变化，也说明了地震子波的复杂性。

2)在近源区，位移振幅与r2成反比衰减，且衰减较快。在远源区，位移振幅与r成反比衰减，衰减较慢。当r很大时，地震波振幅逐渐趋于稳定。

13313 波前、波带及波尾

通常地震勘探是在远离震源区的位置观测地震波，因此，在上述讨论远震源情况的基础上，要进一步讨论有关波前、波带和波尾的概念。

已知远离震源时，质点位移函数由震源函数的一阶导数Φ′(t)确定，而Φ′(t)又是由Φ(t)确定的。按照胀缩点源的定义，假设点源是一脉冲震源于t=0时开始作用，作用延续时间为Δt，则震源函数Φ(t)为

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其一阶导数Φ′( )可表示为

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由式(13-21)Φ′( )的存在条件

地震勘探原理、方法及解释

当t=t1时，波动在空间的存在范围是

VP(t1-Δt)≤ r≤VPt1 (13-24)

或

r1≤ r≤ r2 (13-@25)

式中：r1=VP(t1-Δt)，r2=VPt1，Δr=r2-r1=ΔtVP。

该式的含义可用图1-2表示，即波从O点出发，经t=t1-Δt时间到达r1点，再经Δt时间到达r2点。由于波的振动延续范围为Δr，故当r2点开始振动时，r1点振动正好停止。因此，称r2点为波前，以r2为半径的球面为波前面。称r1点为波尾，以r1为半径的球面为波尾面。称r1到r2之间正在振动的部位为波动带，简称波带。这样可由波前面、波尾面将无限大空间划分为3个区域：r≤r1称为波尾区，表示波动已停止的区域，代表了波后的状态；r1＜r≤r2称为波动区，表示波动正在进行的区域；r＞r2称为波前区，表示尚未波动的区域，代表了波前的状态。

在波动区，由于位移UP是由震源函数的一阶导数确定，所以相邻质点的位移状态是不相同的，有部分相邻介质可能是相互靠近，形成介质的局部密集带，称为压缩带。而有些介质彼此分开，形成局部疏松带，称为膨胀带。这些压缩带和膨胀带不间断交替更换，使地震波不断向前传播，这就是纵波(胀缩波)的传播特点。

图1-2 波前、波尾及波动带

1332 地震波的波剖面和振动图

地震波传播除速度外主要与两个参数有关，即时间(t)和空间位置(r)。分别考虑：当时间一定时，不同位置质点的位移状态；或当位置不变时，质点随时间振动的情况，可得出波剖面和振动图的概念。

13321 波剖面

考虑波动带内的情况，当时间t=t1时刻，观察波动带内沿波传播方向(r)各质点的位移状态图形，称为波剖面。若用正值表示压缩，用负值表示膨胀，则波剖面可用图1-3(a)表示。

在波剖面中，正峰值称为波峰，负峰值称为波谷，相邻波峰之间的距离为视波长λ，λ的倒数为视波数 。

13322 振动图

在波动区内选一质点P，由于波动中膨胀和压缩是交替进行的，所以对P点而言位移也是正负变化的，观察质点P随时间的位移变化状态可用图1-3(b)表示。

则称该质点随时间的位移图形为振动图。振动图的极值(正或负)称为波的相位，极值的大小称为波的振幅，相邻正极值(或负极值)之间的时间间隔为视周期T，视周期的倒数为视频率 。视波长λ与视周期的关系为λ=T·V。

图1-3 地震波的波剖面和振动图

在地震勘探中，是将检波器放在地表或地下(井中)某一位置接收地震波，所以地震仪接收的单道记录为振动图，而由空间阵列检波器接收的多道记录包含了振动图和波剖面两部分。

1333 地震波的能量和球面扩散

地震波的传播实质是能量的传播。由物理学中的波动理论可知，波在介质中传播时的能量等于动能Er和位能EP之和。设波通过的介质体积为W，介质的密度为ρ，对简谐振动来说，则波的能量E可用下式表示：

E=Er+EP∝ ρA2ω2W (13-26)

式中：A表示波动的振幅，ω=2πƒ，ƒ表示波的频率。

上式说明，波的能量与振幅平方、频率的平方及介质的密度成正比。于是包含在介质中单位体积内的能量，称为能量密度e：

地震勘探原理、方法及解释

定义单位时间通过介质面积S的能量为能流通量，则单位时间通过单位面积的波的能量为能流密度或波的强度I，因为实际地震勘探是在波前面的单位面积上观测波的能量信息的，如果时间dt内通过面积dS的能量为e·υ·dt·dS，则波的强度I为

地震勘探原理、方法及解释

式中：V为速度。所见波强度是正比于波的振幅平方、频率平方及密度和速度。

现在我们来研究球面波的能量密度。图1-4表示一个从中心O发出的球面纵波的波前示意，两个球面的半径分别为r1和r2，以r1、r2为半径的球面与以Ω为主体角的锥体相交的面积分别为S1和S2，相交域内锥体的侧面积为S3。由于球面波沿r方向传播，S3中无能量流通，波仅是从S1面流入，从S2面流出，因此，通过S1面和S2面的能流通量应相等，即有：

地震勘探原理、方法及解释

式中：IS1、IS2分别为S1面和S2面的能流密度。显然有关系：

地震勘探原理、方法及解释

或

地震勘探原理、方法及解释

从以上两点可得出结论：①波的强度 I 与传播距离成反比；②波的振幅 A 与传播距离成反比。

图1-4 球面波能量密度示意

形成这种关系的物理解释是因为随着传播距离r的增大，球面越来越大，在能量守恒的条件下，相同的能量重新分配在越来越大的球面上，这必然造成能流密度I随r增大而减小，I越小，振幅A也随之减小。把这种现象称为球面扩散或几何扩散。球面扩散不存在能量损失问题，仅是能量重新分配，这种能量变化与地下岩石d性参数无关。

1334 地震波的谱分析

在上述讨论中已知，地震波场可用振动图和波剖面描述，而振动图和波剖面的特征是由几个动力学参数A、ƒ(或T)、φ、λ(或k)表示。怎么才能知道地震波的频率成分或波数，傅里叶(Fourier)变换是进行地震波频谱和波数谱分析的数学工具。

根据傅里叶变换理论，设时间域非周期函数(振动图信号)为x(t)，则x(t)的傅里叶变换为

地震勘探原理、方法及解释

式中：X(ƒ)为频率域复函数，称为x(t)的频谱。由于复函数可表示成

X(ƒ)=Xr(ƒ)+iXi(ƒ)=｜ X(ƒ)｜ eiφ(ƒ)=A(ƒ)eiφ(ƒ)(13-33)

其中

地震勘探原理、方法及解释

A(ƒ)称为x(t)的振幅谱，φ(ƒ)称为x(t)的相位谱。由振幅谱可知道时间函数x(t)中包含的简谐波频率成分以及各频率简谐波的幅度值，由相位谱可知道参与叠加x(t)的各频率简谐波的初相位。以上过程为振动图的频谱分析。若将振动图换为波剖面函数，仿照以上方法，则可完成波剖面的波数谱分析。通常对二维地震记录做二维傅里叶变换，即可一次完成频波谱分析。

什么是相位图谱分析 信号的相位谱和信号的幅度谱一样，是信号的重要特征之一。讨论相位谱的特点和性质是信号谱分析的一个基本问题，尤其是在多点激励、载荷建立以及传递路径识别等方面问题的研究中。

adobe audition软件里面的波形,频谱,声相谱,相位谱分别代表什么意思？ 10分 这个就是波形,声音高低不同,波形也会跟着发生变化

这个是频谱,是指一个音频的频率,右边8KHz以上的全部没有,像这样看,这个明显缺高频

这个也是频谱,中间的曲线部份就是一个声音的频率,这个没有上面那个那么直观看频谱的仪器有多种

如图下方的便是声相谱,也叫相位谱比如下图

声音相位(左右声道)发生变化时曲线位置也会发生改变如果是立体声,会在中间部份起变化

以上不知道是否对你有些帮助

频谱分析中，各个高频分量的相位对于最后分析得到的幅值有影响吗 50分 频谱包含的信息是频率的能量大小，所以与A1和f，A2和2f有关，f的能量是A1，2f的能量是A2，就相当于一个物体，不会因为挪动了位置而质量上变大变小（当然，在小范围内移动，重力加速度不变！），在傅里叶变换中，δ1的表征是一个exp（jδ1），|exp（jδ1）|=1，这个对频谱的幅度值是没有影响的。

相位为什么不同 亲爱的知友，很高兴为你解答：

相位是一个非常相当绝对复杂的问题。首先你要明白几个概念。

1、相位

声音是由物体的振动产生的。振动就是是物质粒子相互碰撞并以向前移的脉冲或波的形式传递能量的快速运动。声波是一种周期运动，声波在周期运动中所达到的精确位置就叫做相位。通常以圆圈的度数来计算。任何一个波的起始点离其相邻波的起始点都是360度，也就是说所有波峰或者波谷都是同相位的，波峰、波谷之间则是互相反向，相位差正好是180°。同相位相加，反相位相减。如果是0度~180度与180度~360度的关系，也就是我们说的正值与负值的关系，它们的相位是相反的。

2、极性相位

极性相位就是我们经常涉及到的正负极的概念，它是一种比较直观的东西。音响系统中的每一个设备，每一条信号通道都有正负极，我们一般最常碰到的是音箱的极性，而比较容易忽略系统设备的极性。一个音响系统，如果只有两个信号通道，而且这两个信号通道采用同样的设备，只有所有设备按照正常的连接方式连接，一般不会有极性搞错的情况。什么情况下容易出现一些不容易被人发现的极性相位搞错的情况呢？如果在一个系统中，在不同的信号通道中，采用了不同的设备，比如功放或者周边设备，在音箱的极性正确连接、系统信号线的接线顺序也相同的情况下，也有可能产生相互反相的问题。这是为什么呢？第一，有些电子周边设备的输入输出采用的是3＋的，比如很出名的英国KT的周边设备、高峰的PRO系列功放等。如果一个通道采用了KT的周边，而另外一个通道采用其他的设备，如果信号线按照正常的2＋的方式连接的话，这两个通道的信号就反相了。还有，有些电子设备虽然没有标出其输入输出是3＋还是2＋,但内部可能是3＋的，这也容易让人产生混淆。

3、音箱相位

其实前面两点已经包含了音箱相位的问题，单独提出来是因为和你的主题有关。

引起音箱单元相位的偏移有几个因素：

1）接线端反接会反相180度。同频率的音频信号从功放输出后，若一对音箱有一只接反相（即指“+”“-”两极接反），这对音箱的单元会产生交流相位差，音频信号相互抵消，扩声后的低频信号明显偏弱，声音变硬变干，中高频漂移，影响整个扩声系统的调试和整体声场效果。

2）喇叭安装方式为反装（即磁钢朝外）时，这种情况会反相180度。一阶分频是滞后90度，二阶分频是滞后180度，三阶分频是滞后270度……以此类推。

3）喇叭灵敏度引起的高低音到达人耳的时间差不同，也会导致相位失真，这就是在同一个分频器里高低音的滤波器阶数常常不一致的原因。通常高音驱动头的灵敏度是远远超过低音单元的，所以我们会发现低音分频的元件很少，而高音部分则是比较多的电阻、电容和电感，就是利用滤波器阶数来平衡高低音喇叭之间的灵敏度，使高低音到达人耳的时间同步，同时其相位亦得到校正。

如果钉上面的概念你能理解，那也许你能明白我这样这样描述：

当你坐在两只音箱中间--就是通常说的皇帝位聆听时，两个正弦波会在中间位置交叉形成一片阴影区域，这就是通常说的“接相”，这时你听到的声音是从两只音箱中间传出来的，此时的相位为0度，正相。而如果相位为反相，180度的时候，你听到声音是散的，不会有中间交叉的那片阴影区域。如果相位产生偏差，那么中间的那片阴影区域也会相应的移动，比如90度的时候你可能听见声音偏左，而270度时候你可能听见声音偏右。

希望能帮到你。

相位增益分析仪那个牌子的好？ 可以了解下，简单

请教全相位谱分析问题 图像的傅立叶变换可参考fft2，abs计算幅度谱，angle计算相位。 幅度谱一般代表图像的亮度信息，相位谱代表图像的构造纹理信息，你可有试验使用相位谱和单位幅度谱重构图像。

什么是相位 通俗的说，就是系统在一个周期的振动或者波动中所处的相对位置。如果其所处的相对位置相同，则成为同相位，如果其所处的相对位置相反，就称为反相位，如果其所处的相对位置小于半个周期，就是相位超前，如果大于半个周期就是相位落后。这样说你明白了么？

星盘里的相位怎么看，原理是什么，像合冲刑拱都是什么意思，代表着什么，还有哪些行星的组合是好的，哪些 合：0° （中）

一般两个行星的角度在8°以内都可以理解为合相，合相表示加强，两个行星的力量均会被放大，故星盘中如有合相要重点考察和关注！它会显现为你性格中比较突出的部分。从凶吉角度看，合相属于中性，没有绝对的好和绝对的坏，要看是哪两种行星相合。一般来讲，吉星和吉星、吉星和中性行星相合为吉，中性行星和凶星相合为凶，凶星和凶星相合为最凶，吉星和凶星比较复杂，需要具体分析星盘。

0°属于强相位。

拱：120° （吉）

拱可以理解为调和，是吉相位。表示两颗行星可以运作良好，相映成辉！

刑：90° （凶）

代表摩擦。如果两颗行星形成90°，说明它们相处存在问题。就像两个人相处感觉不太舒服一样。但90°的冲击力没有180°那么强烈。

冲：180°（凶）

两颗行星站到了星盘中对角线的位置，表示不可调和的两极化。比如：金星在水瓶12°，而天王星在狮子12°，则为金天冲。

180°属于强相位。

半合：60°（中吉）

也属于和谐相位，但影响力相对拱相位而言较弱。可作为参考。

吉星：金星、木星

凶星：火星、土星、天王星、冥王星

中性行星：太阳、月亮、水星、海王星（有的地方认为海王星也是凶星)

很多东西不能一概而论，毕竟占星是门科学，不是妄言，需要研究整个星盘。现按照一般认知列举几个行星组合。

相对而言，比较好的行星组合：

金天拱：爱情/婚姻顺利、与众不同的美。

金海拱：浪漫多情、罗曼蒂克、诗情画意。

木天拱：好运气、突如其来的好事。

月木拱：内心善良、好心肠。

不好的行星组合：

火冥合/火冥冲：脾气暴躁、容易有暴力倾向。

月土刑/月土冲：母亲身体不好、和母亲的相处存在问题，比如：目前非常严苛、无法从母亲处得到充足的关爱。

凯海合：（凯龙合相海王）自己父母中的一方，或是配偶父母中的一方，容易有慢性病，拖延很久，需要儿女费心照顾多年（直至把老人送走），总之儿女在赡养方面会比一般人付出更多的辛苦。

一对情侣行星相位分析，求大师分析~ 挺不错的 注意沟通 ，比较喜欢对方的长相

第一相位：虚星丘比特

在比较盘中一方的丘比特合另一方的丘比特：我们会把这一相位归为一见钟情，丘比特是爱神之箭。两人容易一见就会喜欢上对方。而且一开始相处，就会觉得对方是自己的恋人的感觉，而且会觉得对方很熟悉。然后的话，我们也会说婚神合婚神的话，两人也会容易一见钟情，而且会有一种很舒服的感觉，两人觉得一拍即合的感觉，就是自己想要的对象。但是，丘比特的话，会比婚神来的感觉要强烈。

第二相位：DES合婚神

在比较盘中一方的DES合另一方的婚神：要是在的是12宫的话，其实行为会多过说吧。言语的话，会比较难表达的出来，其实也是爱对方，只是说表达的形式会深深埋在心里。其实DES合婚神，两人结婚的想法很强烈。双方会达成协议，都有想和对方长久下去的想法。在此说一下，要是男的婚神落12，还是天蝎的话，其实自己会过不了自己的，特别是第一次恋爱投入很深，天蝎宫的疑心占有欲强，会导致初恋失败的原因。所以，不管是男女要是婚神落12的，要特别调整自己的心理！因为婚神落12，自己会拒绝桃花，不是随便接受爱的人！也会不相信爱情，同时在失败后特难恢复自己！在此，我们说的这些相位，不管是供还是合，6合都不错。

第三相位：天月相位

比较盘中一方的天王合另一方的月：月方会着迷天王方。两人在性关系很和谐！而且天王方也会觉得不可思议的思维，怎么在一起都不会觉得腻？只会觉得双方很吸引。要是在组合中点中，天月供或6合的话，双方的感觉也会很美好！双方会很信任对方，女方特别也会很信任男方。双方也会很欣赏对方，在性方面也很协调。当然，要是组合盘中要是金冥合的话，双方也是性吸引强烈！金海合的话，吸引也很强烈，但是这样的相位是比较梦幻了，而且有种美得不实际，或者难以置信。火供月在合并盘中，也很突出，特别是女方也会很渴望，也是她想要的感觉。天王合火的话，在比较盘中，两人性活动也会频繁起来，感觉也很非常好！男方也觉得会比较满足！其实有时金冥或者天月还有天火这些相位，要是刑了冲了，其实也会有一种反吸的状态，会离不开对方！但是两人要是真的分手的话，会特别伤，脾气也会特别恶劣！要是有太金刑的话：在合盘中的话，会起一种反吸引，特别是金在8的时候，这样的反吸也非常重！会特别喜欢对方，但是又有时觉得不欣赏对方，但是自己又觉得对方很有魅力。有时自己很矛盾，但是又觉得这样的坏，又很吸引一样。

第四相位：金月相位

比较中，金月相位：要是合的话，两人发关系发展很快。而且女方会很欣赏男方。两人在一起都是欣赏对方，而且取悦对方。会有一种互相尊重对方的想法，两人自然有时也会心有灵犀的感觉。要是供的话，女方会旺男方。其实有金月相位的，两人在处理金钱上还是比较理想的，双方都会做到为对象着想。两人兴趣爱好比较像，默契也足。

第五相位：太上或者上升合上升

比较盘中，太阳合上升的话：双方做事会很默契，心有灵犀。爱好相同。有时，你想说的，对方有时也刚好想说之类的。多数的话，还是表现在行为上，感觉会很默契！上升合上升的话，双方会当对方是自己一样，会有一种了解对方的感觉。但是有时因为太了解对方了，有时或许也会缺少一点 吧。但是这些相位都是会很愿意与对方长久发展的，因为他们都会把对方当做自己的家人一样，感觉很亲！互相依赖的感觉也会很强烈。

第六相位：木月相位

组合盘中有月木相位：月合木的话，女方会特别有一种包容力，而且会很为男方着想。也会是对方的贵人，不管是供还是合，都会有女方旺对方的能力。其实要是供的话，女方也是很积极的，为男方付出很大，都不会后悔。其实这样的>>

频率响应分析所得相位，位移结果有什么用 频率响应为01+008e^(-jΩ)+02e^(-2jΩ)+008e^(-3jΩ)+01e^(-4jΩ) 把1e^(-2jΩ)提出来，在运用欧拉公式，即可得到幅度特性、相位，不难看出是线性相位。

两个采样点，无论是相邻的两个零点还是相邻的波峰与波谷位置的间隔都是05，因此，可知采样的周期为05，恰好为正弦信号周期的一半。从频谱来看，采样使频谱发的周期性延拓，为了使延拓后的频谱不发生混叠，因此，采样周期必须为信号周期的2倍。

当然，这只是分析了一个简单的正（余）弦信号，但是绝大多数信号都是能够进行傅里叶变换的，就意味着，不管一个信号多么复杂，总可以分解为若干个正（余）弦信号的和，对应了信号的频率分量。因此，Nyquist采样定理只需找到信号最大的频率分量，再用2倍于最大频率分量的采样频率对信号进行采样，从理论上解决了，离散信号能够重建出连续信号的问题。故而，Nyquist采样定理是连接连续和离散的桥梁。

傅里叶是法国数学家

傅里叶发现解函数可以由三角函数构成的级数形式表示,从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数傅里叶级数（即三角级数）、傅立叶分析等理论均由此创始

傅里叶变换用于将复杂信号分解为正弦或余弦三角函数的组合在电能质量分析及谐波检测中,利用傅里叶变换可以准确的获取信号的频率构造,对复杂信号进行定量分析和进行准确的数学描述

matlab如何获取滤波器频域波形

一、实验目的：

1 了解图像变换的意义和手段； 熟悉傅立叶变换的基本性质；熟练掌握FFT变换方法及应用； 了解二维频谱的分布特点； 掌握利用MATLAB编程实现数字图像的傅立叶变换； 评价人眼对图像幅频特性和相频特性的敏感度。

2．掌握怎样利用傅立叶变换进行频域滤波；掌握频域滤波的概念及方法；熟练掌握频域空间的各类滤波器；利用MATLAB程序进行频域滤波。

二、实验条件以及开发环境：

1 PC计算机、MATLAB软件。

2 实验所需要的均可采用MATLAB软件自带素材库也可以自行准备。

三、算法原理：

1 应用傅立叶变换进行图像处理

傅里叶变换是线性系统分析的一个有力工具，它能够定量地分析诸如数字化系统、采样点、电子放大器、卷积滤波器、噪音和显示点等的作用。

2 傅立叶（Fourier）变换的定义

对于二维信号，二维Fourier变换定义为：

逆变换：

二维离散傅立叶变换为：

逆变换：

3频域滤波分为低通滤波和高通滤波两类，对应的滤波器分别为低通滤波器和高通滤波器。频域低通过滤的基本思想：

F(u,v)是需要钝化图像的傅立叶变换形式，H(u,v)是选取的一个低通过滤器变换函数，G(u,v)是通过H(u,v)减少F(u,v)的高频部分来得到的结果，运用傅立叶逆变换得到钝化后的图像。理想低通滤波器(ILPF)具有传递函数：

其中，D0为指定的非负数，D(u,v)为(u,v)到滤波器的中心的距离。D(u,v)=D0的点的轨迹为一个圆。N阶巴特沃兹低通滤波器(BLPF)(在距离原点D0处出现截至频率)的传递函数为:

从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。 这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析 。而我们也想当然的认为，世间万物都在随着时间不停的改变，并且永远不会静止下来。但如果我告诉你，用另一种方法来观察世界的话，你会发现世界是永恒不变的，你会不会觉得我疯了？我没有疯，这个静止的世界就叫做频域。

还是举个栗子并且有图有真相才好理解。

如果我说我能用前面说的正弦曲线波叠加出一个带 90 度角的矩形波来，你会相信吗？你不会，就像当年的我一样。但是看看下图：

第一幅图是一个郁闷的正弦波 cos（x）

第二幅图是 2 个卖萌的正弦波的叠加 cos (x) +acos (3x)

第三幅图是 4 个发春的正弦波的叠加

第四幅图是 10 个便秘的正弦波的叠加

随着正弦波数量逐渐的增长，他们最终会叠加成一个标准的矩形，大家从中体会到了什么道理？（只要努力，弯的都能掰直！）

随着叠加的递增，所有正弦波中上升的部分逐渐让原本缓慢增加的曲线不断变陡，而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高处时继续上升的部分使其变为水平线。一个矩形就这么叠加而成了。但是要多少个正弦波叠加起来才能形成一个标准 90 度角的矩形波呢？不幸的告诉大家，答案是无穷多个。（上帝：我能让你们猜着我？）

不仅仅是矩形，你能想到的任何波形都是可以如此方法用正弦波叠加起来的。这是没有接触过傅里叶分析的人在直觉上的第一个难点，但是一旦接受了这样的设定，游戏就开始有意思起来了。

还是上图的正弦波累加成矩形波，我们换一个角度来看看：

在这几幅图中，最前面黑色的线就是所有正弦波叠加而成的总和，也就是越来越接近矩形波的那个图形。而后面依不同颜色排列而成的正弦波就是组合为矩形波的各个分量。这些正弦波按照频率从低到高从前向后排列开来，而每一个波的振幅都是不同的。一定有细心的读者发现了，每两个正弦波之间都还有一条直线，那并不是分割线，而是振幅为 0 的正弦波！也就是说，为了组成特殊的曲线，有些正弦波成分是不需要的。

这里，不同频率的正弦波我们成为频率分量。

好了，关键的地方来了！！

如果我们把第一个频率最低的频率分量看作“1”，我们就有了构建频域的最基本单元。对于我们最常见的有理数轴，数字“1”就是有理数轴的基本单元。

（好吧，数学称法为——基。在那个年代，这个字还没有其他奇怪的解释，后面还有正交基这样的词汇我会说吗）

时域的基本单元就是“1”秒，如果我们将一个角频率为ω0的正弦波cos（ω0t）看做基础，那么频域的基本单元就是ω0。

有了“1”，还要有“0”才能构成世界，那么频域的“0”是什么呢？cos（0t）就是一个周期无限长的正弦波，也就是一条直线！所以在频域，0 频率也被称为直流分量，在傅里叶级数的叠加中，它仅仅影响全部波形相对于数轴整体向上或是向下而不改变波的形状。

接下来，让我们回到初中，回忆一下已经死去的八戒，啊不，已经死去的老师是怎么定义正弦波的吧。

正弦波就是一个圆周运动在一条直线上的投影。所以频域的基本单元也可以理解为一个始终在旋转的圆。

介绍完了频域的基本组成单元，我们就可以看一看一个矩形波，在频域里的另一个模样了：

这就是矩形波在频域的样子，是不是完全认不出来了？教科书一般就给到这里然后留给了读者无穷的遐想，以及无穷的吐槽，其实教科书只要补一张图就足够了：频域图像，也就是俗称的频谱，就是—

再清楚一点：

老实说，在我学傅里叶变换时，维基的这个图还没有出现，那时我就想到了这种表达方法，而且，后面还会加入维基没有表示出来的另一个谱——相位谱。

但是在讲相位谱之前，我们先回顾一下刚刚的这个例子究竟意味着什么。记得前面说过的那句“世界是静止的”吗？估计好多人对这句话都已经吐槽半天了。想象一下，世界上每一个看似混乱的表象，实际都是一条时间轴上不规则的曲线，但实际这些曲线都是由这些无穷无尽的正弦波组成。我们看似不规律的事情反而是规律的正弦波在时域上的投影，而正弦波又是一个旋转的圆在直线上的投影。那么你的脑海中会产生一个什么画面呢？

我们眼中的世界就像皮影戏的大幕布，幕布的后面有无数的齿轮，大齿轮带动小齿轮，小齿轮再带动更小的。在最外面的小齿轮上有一个小人——那就是我们自己。我们只看到这个小人毫无规律的在幕布前表演，却无法预测他下一步会去哪。而幕布后面的齿轮却永远一直那样不停的旋转，永不停歇。这样说来有些宿命论的感觉。说实话，这种对人生的描绘是我一个朋友在我们都是高中生的时候感叹的，当时想想似懂非懂，直到有一天我学到了傅里叶级数……

上一章的关键词是：从侧面看。这一章的关键词是：从下面看。

在这一章最开始，我想先回答很多人的一个问题：傅里叶分析究竟是干什么用的？这段相对比较枯燥，已经知道了的同学可以直接跳到下一个分割线。

先说一个最直接的用途。无论听广播还是看电视，我们一定对一个词不陌生——频道。频道频道，就是频率的通道，不同的频道就是将不同的频率作为一个通道来进行信息传输。下面大家尝试一件事：

先在纸上画一个sin（x），不一定标准，意思差不多就行。不是很难吧。好，接下去画一个sin（3x）+sin（5x）的图形。别说标准不标准了，曲线什么时候上升什么时候下降你都不一定画的对吧？

好，画不出来不要紧，我把sin（3x）+sin（5x）的曲线给你，但是前提是你不知道这个曲线的方程式，现在需要你把sin（5x）给我从图里拿出去，看看剩下的是什么。这基本是不可能做到的。但是在频域呢？则简单的很，无非就是几条竖线而已。

所以很多在时域看似不可能做到的数学 *** 作，在频域相反很容易。这就是需要傅里叶变换的地方。尤其是从某条曲线中去除一些特定的频率成分，这在工程上称为 滤波 ，是信号处理最重要的概念之一，只有在频域才能轻松的做到。

再说一个更重要，但是稍微复杂一点的用途——求解微分方程。（这段有点难度，看不懂的可以直接跳过这段）微分方程的重要性不用我过多介绍了。各行各业都用的到。但是求解微分方程却是一件相当麻烦的事情。因为除了要计算加减乘除，还要计算微分积分。而傅里叶变换则可以让微分和积分在频域中变为乘法和除法，大学数学瞬间变小学算术有没有。

傅里叶分析当然还有其他更重要的用途，我们随着讲随着提。

下面我们继续说相位谱：

通过时域到频域的变换，我们得到了一个从侧面看的频谱，但是这个频谱并没有包含时域中全部的信息。因为频谱只代表每一个对应的正弦波的振幅是多少，而没有提到相位。基础的正弦波Asin(wt+θ)中，振幅，频率，相位缺一不可，不同相位决定了波的位置，所以对于频域分析，仅仅有频谱（振幅谱）是不够的，我们还需要一个相位谱。那么这个相位谱在哪呢？我们看下图，这次为了避免太混论，我们用7个波叠加的图。

鉴于正弦波是周期的，我们需要设定一个用来标记正弦波位置的东西。在图中就是那些小红点。小红点是距离频率轴最近的波峰，而这个波峰所处的位置离频率轴有多远呢？为了看的更清楚，我们将红色的点投影到下平面，投影点我们用粉色点来表示。当然，这些粉色的点只标注了波峰距离频率轴的距离，并不是相位。

在完整的立体图中，我们将投影得到的时间差依次除以所在频率的周期，就得到了最下面的相位谱。所以，频谱是从侧面看，相位谱是从下面看。下次偷看女生裙底被发现的话，可以告诉她：“对不起，我只是想看看你的相位谱。”

注意到，相位谱中的相位除了0，就是Pi。因为cos（t+Pi）=-cos（t），所以实际上相位为Pi的波只是上下翻转了而已。对于周期方波的傅里叶级数，这样的相位谱已经是很简单的了。另外值得注意的是，由于cos（t+2Pi）=cos（t），所以相位差是周期的，pi和3pi，5pi，7pi都是相同的相位。人为定义相位谱的值域为(-pi，pi]，所以图中的相位差均为Pi。

最后来一张大集合：

傅里叶变换实际上是对一个周期无限大的函数进行傅里叶变换。

所以说，钢琴谱其实并非一个连续的频谱，而是很多在时间上离散的频率，但是这样的一个贴切的比喻真的是很难找出第二个来了。

因此在傅里叶变换在频域上就从离散谱变成了连续谱。那么连续谱是什么样子呢？

你见过大海么？

为了方便大家对比，我们这次从另一个角度来看频谱，还是傅里叶级数中用到最多的那幅图，我们从频率较高的方向看。

以上是离散谱，那么连续谱是什么样子呢？

尽情的发挥你的想象，想象这些离散的正弦波离得越来越近，逐渐变得连续……

直到变得像波涛起伏的大海：

很抱歉，为了能让这些波浪更清晰的看到，我没有选用正确的计算参数，而是选择了一些让更美观的参数，不然这图看起来就像屎一样了。

不过通过这样两幅图去比较，大家应该可以理解如何从离散谱变成了连续谱的了吧？原来离散谱的叠加，变成了连续谱的累积。所以在计算上也从求和符号变成了积分符号。

不过，这个故事还没有讲完，接下去，我保证让你看到一幅比上图更美丽壮观的，但是这里需要介绍到一个数学工具才能然故事继续，这个工具就是——

虚数i这个概念大家在高中就接触过，但那时我们只知道它是-1 的平方根，可是它真正的意义是什么呢

这里有一条数轴，在数轴上有一个红色的线段，它的长度是1。当它乘以 3 的时候，它的长度发生了变化，变成了蓝色的线段，而当它乘以-1 的时候，就变成了绿色的线段，或者说线段在数轴上围绕原点旋转了 180 度。

我们知道乘-1 其实就是乘了两次 i 使线段旋转了 180 度，那么乘一次 i 呢——答案很简单——旋转了 90 度。

同时，我们获得了一个垂直的虚数轴。实数轴与虚数轴共同构成了一个复数的平面，也称复平面。这样我们就了解到，乘虚数i的一个功能——旋转。

现在，就有请宇宙第一耍帅公式欧拉公式隆重登场——

这个公式在数学领域的意义要远大于傅里叶分析，但是乘它为宇宙第一耍帅公式是因为它的特殊形式——当x等于 Pi 的时候。

经常有理工科的学生为了跟妹子表现自己的学术功底，用这个公式来给妹子解释数学之美：”石榴姐你看，这个公式里既有自然底数e，自然数 1 和0，虚数i还有圆周率 pi，它是这么简洁，这么美丽啊！“但是姑娘们心里往往只有一句话：”臭屌丝……“

这个公式关键的作用，是将正弦波统一成了简单的指数形式。我们来看看图像上的涵义：

欧拉公式所描绘的，是一个随着时间变化，在复平面上做圆周运动的点，随着时间的改变，在时间轴上就成了一条螺旋线。如果只看它的实数部分，也就是螺旋线在左侧的投影，就是一个最基础的余弦函数。而右侧的投影则是一个正弦函数。

关于复数更深的理解，大家可以参考：

复数的物理意义是什么？

这里不需要讲的太复杂，足够让大家理解后面的内容就可以了。

有了欧拉公式的帮助，我们便知道：正弦波的叠加，也可以理解为螺旋线的叠加在实数空间的投影。而螺旋线的叠加如果用一个形象的栗子来理解是什么呢？

光波

高中时我们就学过，自然光是由不同颜色的光叠加而成的，而最著名的实验就是牛顿师傅的三棱镜实验：

所以其实我们在很早就接触到了光的频谱，只是并没有了解频谱更重要的意义。

但不同的是，傅里叶变换出来的频谱不仅仅是可见光这样频率范围有限的叠加，而是频率从 0 到无穷所有频率的组合。

这里，我们可以用两种方法来理解正弦波：

第一种前面已经讲过了，就是螺旋线在实轴的投影。

另一种需要借助欧拉公式的另一种形式去理解：

将以上两式相加再除2，得到：

这个式子可以怎么理解呢？

我们刚才讲过，e^(it)可以理解为一条逆时针旋转的螺旋线，那么 e^(-it)则可以理解为一条顺时针旋转的螺旋线。而 cos (t)则是这两条旋转方向不同的螺旋线叠加的一半，因为这两条螺旋线的虚数部分相互抵消掉了！

举个例子的话，就是极化方向不同的两束光波，磁场抵消，电场加倍。

这里，逆时针旋转的我们称为正频率，而顺时针旋转的我们称为负频率（注意不是复频率）。

好了，刚才我们已经看到了大海——连续的傅里叶变换频谱，现在想一想，连续的螺旋线会是什么样子：

想象一下再往下翻：

是不是很漂亮？

你猜猜，这个图形在时域是什么样子？

哈哈，是不是觉得被狠狠扇了一个耳光。数学就是这么一个把简单的问题搞得很复杂的东西。

顺便说一句，那个像大海螺一样的图，为了方便观看，我仅仅展示了其中正频率的部分，负频率的部分没有显示出来。

如果你认真去看，海螺图上的每一条螺旋线都是可以清楚的看到的，每一条螺旋线都有着不同的振幅（旋转半径），频率（旋转周期）以及相位。而将所有螺旋线连成平面，就是这幅海螺图了。

好了，讲到这里，相信大家对傅里叶变换以及傅里叶级数都有了一个形象的理解了，我们最后用一张图来总结一下：

好了，傅里叶的故事终于讲完了，下面来讲讲我的故事：

这篇文章第一次被卸下来的地方你们绝对猜不到在哪，是在一张高数考试的卷子上。当时为了刷分，我重修了高数（上），但是后来时间紧压根没复习，所以我就抱着裸考的心态去了考场。但是到了考场我突然意识到，无论如何我都不会比上次考的更好了，所以干脆写一些自己对于数学的想法吧。于是用了一个小时左右的时间在试卷上洋洋洒洒写了本文的第一草稿。

你们猜我的了多少分？

6 分

没错，就是这个数字。而这 6 分的成绩是因为最后我实在无聊，把选择题全部填上了C，应该是中了两道，得到了这宝贵的 6 分。说真的，我很希望那张卷子还在，但是应该不太可能了。

那么你们猜猜我第一次信号与系统考了多少分呢？

45 分

没错，刚刚够参加补考的。但是我心一横没去考，决定重修。因为那个学期在忙其他事情，学习真的就抛在脑后了。但是我知道这是一门很重要的课，无论如何我要吃透它。说真的，信号与系统这门课几乎是大部分工科课程的基础，尤其是通信专业。

在重修的过程中，我仔细分析了每一个公式，试图给这个公式以一个直观的理解。虽然我知道对于研究数学的人来说，这样的学习方法完全没有前途可言，因为随着概念愈加抽象，维度越来越高，这种图像或者模型理解法将完全丧失作用。但是对于一个工科生来说，足够了。

后来来了德国，这边学校要求我重修信号与系统时，我彻底无语了。但是没办法，德国人有时对中国人就是有种藐视，觉得你的教育不靠谱。所以没办法，再来一遍吧。

这次，我考了满分，而及格率只有一半。

老实说，数学工具对于工科生和对于理科生来说，意义是完全不同的。工科生只要理解了，会用，会查，就足够了。但是很多高校却将这些重要的数学课程教给数学系的老师去教。这样就出现一个问题，数学老师讲得天花乱坠，又是推理又是证明，但是学生心里就只有一句话：学这货到底干嘛用的？

缺少了目标的教育是彻底的失败。

在开始学习一门数学工具的时候，学生完全不知道这个工具的作用，现实涵义。而教材上有只有晦涩难懂，定语就二十几个字的概念以及看了就眼晕的公式。能学出兴趣来就怪了！

好在我很幸运，遇到了大连海事大学的吴楠老师。他的课全程来看是两条线索，一条从上而下，一条从下而上。先将本门课程的意义，然后指出这门课程中会遇到哪样的问题，让学生知道自己学习的某种知识在现实中扮演的角色。然后再从基础讲起，梳理知识树，直到延伸到另一条线索中提出的问题，完美的衔接在一起！

这样的教学模式，我想才是大学里应该出现的。

最后，写给所有给我点赞并留言的同学。真的谢谢大家的支持，也很抱歉不能一一回复。因为知乎专栏的留言要逐次加载，为了看到最后一条要点很多次加载。当然我都坚持看完了，只是没办法一一回复。

本文只是介绍了一种对傅里叶分析新颖的理解方法，对于求学，还是要踏踏实实弄清楚公式和概念，学习，真的没有捷径。但至少通过本文，我希望可以让这条漫长的路变得有意思一些。

最后，祝大家都能在学习中找到乐趣…

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