协方差矩阵

在统计学上，协方差用来刻画两个随机变量之间的相关性，反映的是变量之间的二阶统计特性，两个随机变量Xi和Yj的协方差定义为

所以

是一个矩阵，其 i , j 位置的元素是第 i 个与第 j 个随机向量（即随机变量构成的向量）之间的协方差。
设X1，X2，,Xn为一组随机变量，记X=(X1，X2，,Xn)T为由这n个随机变量构成的随机向量，假设每个随机变量有m个样本，将所有的样本拼接在一起可以得到如下的 样本矩阵

协方差矩阵是计算不同维度间的协方差，要时刻牢记这一点。因此样本矩阵的每行是一个样本，每列为一个维度，所以我们要按列计算均值。 但是 peghoty 博客中用的是矩阵第i行元素表示第i个随机变量Xi的m个样本 ，所以以下分析暂时用的peghoty的方案。

引入向量αi和βi

αi是样本矩阵的行向量，βi是样本矩阵的列向量，所以样本矩阵表示为

对于n维的随机变量X=(X1,X2,…,Xn)T的协方差矩阵定义为

协方差矩阵中的对角线元素表示方差，非对角线元素表示随机向量X的不同随机量之间的协方差 ，因此协方差矩阵可以作为 刻画不同分量之间相关性的一个评判量 ，不同分量之间的相关性越小，则C的非对角线元素的值就越小，特别地，如果不同分量彼此不相关，那么C就变成一个 对角阵 。
注意：我们并不能得到协方差矩阵C的真实性，只能根据所提供的X的样本数据，对其进行近似估计，因此，这样计算得到的协方差矩阵是依赖于样本数据的，通常提供的样本数目越多（m越大），样本在总体中的覆盖面就越广，所得协方差矩阵就越可靠。

协方差公式推导

协方差 （Covariance）在概率论和统计学中用于衡量两个变量的总体误差。而方差是协方差的一种特殊情况，即当两个变量是相同的情况。

协方差的计算公式如下所示：

方差的计算公式如下所示：

可以看到协方差是度量两个变量的总体误差，而方差只考虑单变量的离散程度。

如果连个变量相互独立，则协方差为零。

则它的协方差矩阵计算公式为：

我们将该矩阵命名为矩阵A，这个矩阵共有三种属性，每种属性有5个变量，我们需要计算学科与学科之间的协方差，综合在一起就构成了协方差矩阵。

我们将语文、数学、英语分别编号为1、2、3，则它们之间的协方差记为E11、E12、E13、E22、E23、E33，最终该矩阵的协方差矩阵为：

可以根据协方差计算公式进行计算：

首先，我们需要得到这三科的平均成绩：

然后用矩阵A减去平均成绩（三科分别减去各科的均值），得到新的矩阵：

E12的计算公式为：

由于样本减均值刚刚已经计算完成，这里直接进行计算：

同理，E13的计算公式为：

根据Eij=Eji的性质，得到新的矩阵：

然后除以样本的个数5，得到最后的协方差矩阵：

知道了协方差矩阵如何计算之后我们来使用numpy内置的函数 cov() 来计算协方差矩阵。假设有两个变量 x0 和 x1 ，有三组观测(0,2)(1,1)和(2,0)。

值得注意的是， npcov(x) 函数的默认输入矩阵x每一行代表一个特征，每一列代表一个观测，所以在进行协方差矩阵计算的时候需要对输入矩阵进行转置，或者将默认参数设置为False，如 npcov(x,rowvar=False) 。

输出：

亦或者：

输出：

相关系数是研究变量之间线性相关程度的量。

相关系数的计算公式如下所示：

可以表示X和Y线性关系的紧密程度

参考：
协方差 - 百度百科
相关系数 - 百度百科
协方差矩阵概念

工具栏analysis----scale----reliability
analysis（不同spss版本略不同，我使用的是150），点选变量，点击设置statistics，选择inter-item的选项，包含输出相关矩阵和协方差矩阵。运行后，在output文件中可以看到结果。

1，首先，打开excel表，鼠标点击要编辑的单元格；

2，点击菜单栏的公式——“插入函数”；

3，在函数对话框内输入“COVARIANCEP”，点击确定；

4，接下来设置函数参数，在ARRAY1处输入A2:A8；

5，在ARRAY2处输入B2:B8；

6，点击确定后就获得了销售量的协方差。

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