证明：N维向量组a1,a2.....an线性无关的充分必要条件是任意n维向量都可以表示为a1,a2....an的线性组合。

先证必要性（前推后），因为任意n+1个n维向量必线性相关。所以任意向量b与a1an相关。存在不完全为0的n+1个数k1kn,kn+1使得k1a1+knan+kn+1b=0；若kn+1=0，a1an相关，矛盾，所以kn+1不等于0即b可以被a1an线性表出。即表示维a1an德线性组合。
充分性，n维单位向量e1en可以被a1an线性表出。a1an也可以被e1en线性表出。所以他们等价。所以a1an的秩为n。所以a1an线性无关。
证毕。

就是向量的个数如果大于维度的话 ，则其中必然有线性相关。。
比如 n+1个n维向量一定线性相关
证明的话用矩阵的秩
理解的话就背下来就行。。。。这个东西就是证明线性表出线性相关用。。。
深入的理解就到维度空间
就是n+1个n维向量
比如3维空间的三个基向量
(1,0,0)，(0,0,1)，(0,1,0)
这线性无关吧。。。如果有第四个向量(x,y,z)很明显能被前三个线性表出。。。
我只是举了个特例
(1,0,0),(0,1,0),(1,1,0),再来一个任意向量(x,y,z) 这四个向量很明显第三个向量又能被前两个表出，
就是这个道理。。。假如n个向量是线性无关的。。。那么他们就是n维空间中的一组基向量。。。
那么他们就可以表示n维空间的任意向量。。
繁殖 如果n个向量是线性相关的。。不用说了吧

因为n+1个n维向量就是一个n（n+1）的矩阵，所以这个矩阵的秩一定是小于等于n的，所以也必定小于等于n+1,所以它的最大线性无关组是由n个向量组成的（我举得是秩最大的时候的情况），那么它就还剩下一个向量不属于这个最大无关组，于是这个剩下的向量就可以由这个最大无关组表示出来，于是，这个矩阵就是线性相关的，对于秩小于n的情况，显然更加成立，这样说你应该懂了吧

要想解释清这个问题首先要知道两个相关的结论,第一,n+1个n维向量一定线性相关,第二,如果α1,α2,αn线性无关且α1,α2,αn,β线性相关,则β可由α1,α2,αn线性表出这两个结论的证明都不难,而且教材上应该有由这两个结论可知,任一n维向量都可以由n个线性无关的n维向量线性表出,这是解决本问题的关键回到这个问题,由于B的秩等于n,即B中有n个线性无关的向量β1,β2,βn,用这n个线性无关的向量可以线性表出任一A中的向量αi（因为αi也是n维的）,这就证明了A中任一向量都可以由向量组B线性表出,同理可证明B中任一向量都可以由向量组A线性表出,这正是两个向量组等价的定义,因此向量组A和B等价有不明白的地方欢迎追问

证明:充分性:若任一n维向量a都可以n维向量组a1,a2,…,an线性表示,

那么,特别地,n维单位坐标向量组也都可以由它们线性表示,

又向量组a1,a2,…,an也可由n维单位坐标向量线性表示,

所以,向量组a1,a2,…,an与n维单位坐标向量组等价,

而n维单位坐标向量组是线性无关组,

从而向量组a1,a2,…,an也是线性无关组

必要性 若n维向量组a1,a2,…,an线性无关,又任意n+1个n维向量必线性相关,

设a是任一n维向量,则向量组a,a1,a2,…,an线性相关,

故a可以由a1,a2,…,an线性表示

1、因为任意n+1个n维向量一定线性相关，设a是任意一个n维向量，则向量组a,a1a2…an必线性相关，又n维向量组a1a2…an线性无关，a都可由他们线性表示。
充分性。

2、若任一n维向量a都可由a1a2…an线性表示，那么，特别的，n维单位坐标向量组也由他们线性表示。而a1a2…an必可由n维单位坐标向量组线性表示，故a1a2…an与n维单位坐标向量组等价，而n维单位坐标向量组线性无关，所以1a2…an线性无关。

要想解释清这个问题首先要知道两个相关的结论，第一，n+1个n维向量一定线性相关，第二，如果α1,α2,,,,αn线性无关且α1,α2,,,,αn,β线性相关，则β可由α1,α2,,,,αn线性表出。这两个结论的证明都不难，而且教材上应该有。由这两个结论可知，任一n维向量都可以由n个线性无关的n维向量线性表出，这是解决本问题的关键。回到这个问题，由于B的秩等于n，即B中有n个线性无关的向量β1,β2,,,βn，用这n个线性无关的向量可以线性表出任一A中的向量αi（因为αi也是n维的），这就证明了A中任一向量都可以由向量组B线性表出，同理可证明B中任一向量都可以由向量组A线性表出，这正是两个向量组等价的定义，因此向量组A和B等价。有不明白的地方欢迎追问。

这个证明不对，除非你能够证明出（1）是b的唯一表示法，否则这样是不行的。
充分性：
取n个线性无关的n维向量b1,b2,,bn，由必要性知任一n维向量均可由b1,b2,,bn线性表示，也就是说a1,a2,,an可由b1,b2,,bn线性表示。再由已知条件：b1,b2,,bn也可由a1,a2,,an线性表示，因此两向量组等价，因此它们的秩相同，由于b1,b2,,bn线性无关，秩为n，因此：a1,a2,,an的秩也为n，因此a1,a2,,an线性无关。

---