反演理论实验

采用三层H型模型进行直流电测深正演计算。模型参数为:第一层电阻率为100Ω·m，第二层电阻率为10Ω·m，第三层电阻率为300Ω·m，各层厚度均为5 m。正演计算所得理论电测深曲线如图3.2所示，将理论电测深曲线作为实测数据。

图3.2 理论视电阻率及初始模型的确定

用最小二乘法反演程序对图3.2电测深曲线进行反演。根据图3.2将初始模型选择为三层大地，利用勘探深度为AB/5选择层厚度，利用曲线的特征分层及设置层电阻率。

从图3.2可知为三层大地，作两条垂线把大地分为三层。第一条垂线对应AB/2为7m。根据勘探深度为AB/5的原则把第一层厚度定为h1=d1=14/5=2.8m，第二层深度d2=100m/5=20m，所以第二层厚度为h2=d2-d1=20m-2.8m=17.2m。从视电阻率曲线的首支可知第一层电阻率为100Ω·m从尾支可知第三层电阻率为300Ω·m中间层电阻率定为极小值40Ω·m。建立如下初始模型文本文件csmx.dat:

模型层数

3

单个测深点数据个数

20

各层电阻率

100

40

300

各层厚度

2.8

17.2

是否约束反演(0=否，1=是)

0

约束层厚度数 0

层号 厚度

约束层电阻率数 0

层号 电阻率

如果已知第二层电阻率，可进行约束反演。反演结果如图3.3、图3.4所示。

图3.3 无约束反演结果

图3.4 有约束反演结果

图3.3为无约束反演结果，给定反演中止精度为0.01，共迭代4次，电测深曲线拟合误差为0.6%。反演模型参数见表3.2。

表3.2 无约束反演结果

图3.4为有约束反演结果，给定反演中止精度为0.01，共迭代6次，电测深曲线拟合误差为0.86%。反演模型参数见表3.3。

表3.3 约束反演结果

从反演结果图3.3可以看出，当没有先验信息时，由于S2等值现象，反演的模型与理论模型误差较大。而从图3.4可以看出，加入了先验信息进行约束反演的模型与理论模型更接近，但图中所示电测深曲线的拟合误差大于无约束反演。可见不能把电测深曲线拟合精度作为反演好坏的唯一标准，一定要注重标本的采集、先验信息的收集，这样才能获得更接近实际的反演结果。

博斯蒂克（Bostick）反演是一种具有代表性的近似反演方法，尽管结果不够精确，但运算简便，能直观地给出地下电阻率随深度的变化形式，所以得到了广泛应用。在大地电磁测深数据实时处理和现场处理的系统中大多配备了这个反演程序。

博斯蒂克反演是以低频区视电阻率曲线尾支渐近线的特征为基础的。图3⁃2⁃11 是两条二层断面的视电阻率曲线，其第一层电阻率相等，基底电阻率分别为零和无限大。我们知道在低频渐近线上视电阻率分别满足下列方程：

地电场与电法勘探

ρT=ωμH2当 ρ2=0（3⁃2⁃47）

S、H分别是第一层纵向电导和第一层的厚度。

图3⁃2⁃11 博斯蒂克反演原理图

在S线与H线交点的右侧，即相对高频部分视电阻率近乎相等，也就是说在这些频点它们几乎不受断面下层电阻率的影响，而且视电阻率接近S与H线交点处的视电阻率。说明，当第二层电阻率发生任何改变时这个结论将依然成立。因此可以用交点上的数值相当准确地给出该频点所对应深度以上的电阻率，而与以下空间的电阻率无关。

渐近线交点坐标(ρT，ω)应满足（3⁃2⁃46）、（3⁃2⁃47）式，由此可以确定某一深度以上地层的导电性，两式联立消去ω、μ，得：

地电场与电法勘探

为基底以上岩层的平均纵向电阻率。这表明通过视电阻率曲线较高频渐近线上任一点都可确定出一个平均电阻率，它仅与断面中的某一深度H及其以上介质的纵向电导有关。]]

地电场与电法勘探

对H求导数，得到：

地电场与电法勘探

对（3⁃2⁃46）（3⁃2⁃47）式的数值取对数，但省略了数值方程的形式，简写为

地电场与电法勘探

上式分别对lgω求导数，经整理后可得：

地电场与电法勘探

上式代入（3⁃2⁃49）后得到：

地电场与电法勘探

由（3⁃2⁃47）式又可得到：

地电场与电法勘探

（3⁃2⁃52）、（3⁃2⁃53）式就是博斯蒂克反演的基本公式，可在实测视电阻率曲线上读出ρT与ω，并求得导数d lgρT/d lgω。但考虑到测量误差，而且对实测曲线求导数会使误差增加。因此在实施博斯蒂克反演时应设法避免对实测曲线求导数。考虑到在一维介质中大地电磁阻抗是最小相位函数，振幅与相位之间的关系可由希尔伯特转换公式给出：

地电场与电法勘探

由此求得近似公式：

地电场与电法勘探

则

地电场与电法勘探

将上式代入（3⁃2⁃52）式得：

地电场与电法勘探

式（3⁃2⁃53）与（3⁃2⁃54）就是实际使用的博斯蒂克反演公式。θ（ω）可从相位曲线上读出。

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