空间分辨率与光学传递函数的关系

对于一个给定的地质单元，如一个基本像元尺寸，具有地面特征分布，或特征场，根据基本辐射定律，到达传感器入瞳处的辐射亮度L可以用其空间、光谱和时间的分布特征性来描述：

L入=f（x，y，z；λ；τ；t）（5-5-2）

式中，x，y，z表示空间位置；λ为波长；t表示时间；τ表示大气的透过率。f表示到达传感器入瞳处前入射光与大气相互作用、地质体的反射特性以及地质体反射辐射与大气作用的各部分辐射能量的函数关系。

在成像过程中，传感器光学系统对信号作空间采样，即在图像上分成离散的像元或像素：

L光=f（x，y，z；λ；τ；t；MTF；Sλ）（5-5-3）

MTF表示光学系统的调制传递函数，Sλ探测器的光谱响应函数（或称探测器的传递函数），L光表示光学系统输出的光谱辐射值。另一决定着空间分辨率的因素是光学系统的调制传递函数MTF，它影响影像的分辨力和对比度。调制传递度的高低是评价影像质量的标准。光学系统对入射光谱转输过程，实际上是调制传递函数对入射光的调制、变换过程。

5521 辐射度测量

从空间对地面进行光学遥感，辐射功率和能量的测量可简化为图5-5-1所表示的过程。在一般情况下，设传感器的轴线和地面辐射源表面法线的交角为θ，传感器的入射光瞳对辐射源所张的半角为a（麦伟麟，1979）。这时，探测器元表面大小起着视场光阑的作用，限制着传感器所能观察到的视场。视场光阑在地面上的几何投影相应于地面分辨率元，图中（图5-5-1（b））用虚线表示。瞬时视场半角用β表示。角度α和β对非相干辐射源的能量采集特性有重要的影响。

图5-5-1 遥感传感器对地面辐射的测量

（a）系统结构；（b）光路图

视场和仪器孔径对辐射测量的影响，可进一步用图5-5-2说明。设遥感传感器位于被测辐射面的正上方，即被测面元位于天底方向，并且高度为H。这样，传感器所观测的地面瞬时视场GIFOV=（βH）2。式中，β是瞬时视场的平面角，且探测器元为正方形。显然，在瞬时视场β不变的情况下，被观察的面积ΔA将随H的增大而增大（韩心志，焦世举等，1994）。

从另一角度看，设面积为AP的仪器孔径对面积ΔA所张的立体角为Δω，则有关系：

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在仪器孔径面积AP和视场β 都不变的情况下，随距离H的增大，ΔA随之增大，但Δω随之减小。进入传感器的辐射功率正比于乘积Δω·ΔA，即

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图5-5-2 辐射测量与仪器孔径和视场间的关系

这样，当忽略大气传输的影响时，对于一个均匀的辐射目标ΔA来说，进入传感器的辐射功率与轨道高度 H无关，只取决于仪器的入瞳面积和瞬时视场文体角Δω和β2。

5522 光学传递函数（OTF）

任何线性漂移不变系统的性能都可以通过其脉冲函数或者输出谱与相应的输入谱的比率来描述。当一个光学系统把一复杂的电磁波输入信号利用傅里叶变换理论分解为一系列简单的输入，然后研究组成这个线性系统的各个介质对这一系列简单输入的响应，最后把每个单独的响应叠加起来，得到该系统的总响应。光学传递函数理论就是根据这一思想，考察各种频率的正弦波光栅在通过光学系统后是发生了怎样的变化。具体说，就是组成的各个频率的正弦波在成像以前振幅和相位角如何，成像后其振幅与相位角发生了什么变化，加以对比，以比值MTF或PTF作为纵坐标，频率v做横坐标作图，这就是光学传递函数。光学系统的脉冲（或传递）函数通常是复杂的，它是二维空间频率的函数，而且不受因果关系的制约（麦伟麟，1978；宣家斌，1995；韩心志等，1994）。

物方的一个亮点通过传感器成像后，在理想的情况下应该还是一个亮点。但是由于光的衍射作用和物镜的像差，成像后并非亮点而成亮斑。这亮斑就成为点扩散像。

点扩散函数h（x，y）定义为光学系统对点光源的二维（二维δ函数-单位脉冲函数，韩心志等，1994）。系统的响应可直接写成空间分布的卷积和点扩散函数（Mark Folkman，2001），还可以用这些量的频率表示：

I（ωx，ωy）=H（ωx，ωy）L（ωx，ωy） （5-5-6）

I（ωx，ωy）为像空间频谱，H（ωx，ωy）为光学系统的传递函数，L（ωx，ωy）为物谱空间频率，ωx和ωy为x和y方向的弧度空间频率。

可以将传递函数写成点扩散函数的傅里叶变换形式：

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通常，光学传递函数是复数，可以将坐标变化变换极坐标：

H（ωx，ωy）=Re｛H｝+iIm｛H｝=｜ H ｜ eiφ （5-5-8）

式中，φ为arctan［Im｛H｝/Re｛H｝］，Re｛H｝为复数光学传递函数实部，Im｛H｝为复数光学传递函数虚部，｜H｜为光学传递函数绝对值。

也可以缩写成：

H（ωx，ωy）=OTF

｜ H（ωx，ωy）｜=MTF

φ（ωx，ωy）=PTF （5-5-9）

在遥感影像中，常用辐射调制度M来评价影像质量：

调制度M=（Lmax-Lmin）/（Lmax+Lmin） （5-5-10）

而调制传递是像调制度与物调制度的比值：

MTF=［（Lmax-Lmin）/（Lmax+Lmin）］像/（Lmax-Lmin）/（Lmax+Lmin）物（5-5-11）

在可见光、近红外和短波红外上，岩矿景物由太阳光照明，因而调制度仅由反射率差异造成：

调制度M=（ρmax-ρmin）/（ρmax+ρmin） （5-5-12）

在这种情况下，调制度的最大值为1，最小值为0。

与其他度量相比，调制传递函数是分辨率性能更完整的表示。在光学扫描中，调制传递函数也受许多因素的制约，如扫描方向、航向、物象位置、焦面位置、波长等。在较小程度上，调制传递函数取决于扫描光学中间遮光板和杂光光阑的位置以及背景辐射。

5523 传感器的系统的MTF

遥感传感器可视为由一系列具有一定频率特性的子系统组成。各子系统的频率特性可以用调制传递函数来描述。总系统的调制传递函数等于各子系统调制传递函数之积。调制传递函数不仅表示总系统再现景物图像的能力，还表现了各子系统对这种能力贡献的大小。

55231 扫描器和探测器

遥感传感器中的辐射能的转换，在光机扫描情况下，分成两个过程：①辐射的空间信息转换为辐射的时间信息；②辐射的时间信息转换为电的时间信息。前者由扫描器来实现，后者由探测器来实现。

在穿航迹方向，由于扫描运动，使“线”像经过探测器后，把扫描方向扩展为一个近似的矩形脉冲函数，其MTFds为

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式中，d是探测器在扫描方向的尺寸；v是空间频率。（5-5-11）式称为探测器的空间滤波调制传递函数。

沿航迹方向的扫描可以类似地处理。由于穿航迹扫描所得的频谱分量的频率较高，所以由这个方向扫描所导出的传递函数可以代替整个扫描的传递函数。

探测器把辐射的时间信息转换为电的时间信息时，产生时间滤波传递函数：

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式中，v′是时间频率，τ是探测器时间常数，v′o=1/2πτ是3分贝半功率点的特征频率。探测器的传递函数是空间滤波和时间滤波传递函数之积

MTFd=MTFds·MTFds （5-5-15）

在（5-5-12）式中，τ的作用类似于一个简单的RC滤波器，当τ＜01τd时，对系统的影响可以忽略，τd是探测器驻留时间。实际上，使用光量子探测器时，MTFds几乎对系统没有贡献。

对于推帚式扫描传感器，在CCD线列阵探测器线列方向（穿航迹方向），当信号在窄带范围，即v1/2α时，其MTF仍可用（5-5-11）式表示。其中α是列阵中相邻探测器元的中心间距。

在推帚方向，如果忽略CCD的光生电荷转移时间，则该方向上的MTF为

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其中第一项代表光敏元件对景物的积分平均作用。相同的第二项，代表像移的作用，反映了CCD对景物的平均抽样成像过程。

55232 光学系统

如果光学系统是衍射限的，并具有圆形通光孔径，其调制传递函数为

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当光学系统具有矩形孔径时

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式中，voc是截止空间频率：

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其中Do是入瞳线尺寸，λ是波长。

在光学遥感使用的光谱范围内，探测器空间截止频率vdc比起光学系统的空间截止频率vdc来往往是低频。对于像差较大的光学系统，可以不考虑衍射的影响，调制传递函数可写为

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式中，σo=051γ，γ是弥散圆半径。设在此弥散圆内，聚集着相应点总能量的85%以上。如果空间频率用探测器的截止频率，则上式可改写为

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对于衍射限系统，计算证明探测器尺寸与爱里圆直径之比为13～29时，分辨率下降约15%～5%。这样，爱里圆直径以小于探测器尺寸一半左右为宜。

对于像差较大的系统，弥散圆直径为探测器尺寸的1/3～1/5 时，分辨率下降约15%～5%。进一步减少弥散圆直径，对分辨率下降改善不大。

55233 电子学系统

在遥感系统的信号处理电路中，探测器前置放大器、视频放大器和其他一些电路都有电子滤波器。只有滤波器会影响信号的频率成分。所以信号处理电路的传递函数即滤波器的传递函数。前置放大器是最重要的部分，可等到效于一个RC低通滤波器。一般地把前置放大器的传递函数作为信号处理电路的传递函数，表达式与（4-5-12）同样。

55234 系统总调制传递函数

系统总调制传递函数：

MTF（v）=MTFο×MTFd×MTFE （5-5-22）

式中，MTFο、MTFd和MTFE分别是光学系统、探测器和信号处理电子学系统的调制传递函数。

计算时，空间频率统一用探测器尺寸d规一化，时间频率换算成空间频率：

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55235 MTF 的评价标准

借助于光学传递函数，可以对遥感传感器进行空间定标。调制传递函数反映景物（或图像）的光学对比度与空间频率的关系，是系统对所观察景物再现能力的度量。如果把调制传递函数推广到光学传递函数，还可以描述因相位传递而形成的实际图像与理想图像偏离所造成的图像模糊，甚至可以计算出探测器与景物间的相对振动，物点扫描的时间误差等因素造成的图像分辨率损失。

视遥感传感器为由一系列具有一定频率特性的子系统组分而成的总体，并设各子系统都满足线性不变条件，辐射源都非相干光源，而且整个过程单值无噪声等，采用频谱分析法，可以分别研究各子系统，说明各子系统间的联系，并预计和评价整个系统性能。例如，光电型遥感传感器，特别是光机扫描遥感传感器，探测器的空间滤波传递函数对系统MTF的贡献最大，占了总系统MTF的绝大部分，而探测器时间滤波传递函数和信息处理电子学系统的传递函数对系统MTF的贡献最小，只占百分之几。

对遥感传感器，MTF的评价标准是：在奈奎斯特频率下，系统的调制传递函数大于等于05，即

MTF（v）Nyquist≥05

这可以作如下解释，用公式：

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定义瞬时视场IFOV时，没有考虑成像系统的像差和衍射，以及由于遥感器相对地面运动所产生的图像模糊。已如上述，使用调制传递函数，可以把降低像质的这些因素和总系统联系起来。在此基础上，可以定义有效瞬时视场EIFOV。如图5-5-1 所示，对于正弦辐亮度分布，EIFOV定义为一空间半波长，对于此半波长，辐亮度分布的调制度，由于系统MTF的作用而降低到最大值的1/2：

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式中，1/2v包括了光学、探测器和像移的调制传递函数作用，式中各符号的意义如图5-5-3所示。

图5-5-3 瞬时视场和有效瞬时视场

对于轨道遥感器，EIFOV基本上和IFOV一样，这是因为总系统的响应由探测器的MTF支配。

计算EIFOV时，实际上常作三种假设，即：①光学系统的模糊圆或点扩散函数是圆对称的，这是一种理想化的情况，但多数情况下能给出良好的近似；②在积分时间内，像的拖影为零，这也可能较好的近似；③滤波和放大器电子学电路不引入投影。在MSS 中，模糊圆直径是探测器边长的40%，瞬时视场从62m降低到65m。在TM中，成像光学系统地EIFOV的影响可忽略不计。

对于光谱分辨率，有着类似于以上空间分辨率的情况，定义正弦辐亮度分布的有效光谱分辨率为一光谱半波长；对此半波长，辐亮度分布的调制度已由于系统的MTF而降低一半。

有效空间分辨率和有效光谱分辨率都是以MTF=05为基础条件确定的。相应于此MTF值的空间频率和光谱频率，在奈奎斯特抽样定理，应该是奈奎斯特频率，从而保证不失真地恢复空间和光谱信息。

总系统的MTF≥05是一个高指标。对于推帚式遥感器，难于达到。这时要求在沿航迹和垂直航迹两个方向上，总系统的MTF=04。实际上，有时甚至不足03。

最简单的用于理解的例子，是一个粒子源在一个空间里，空间边界的粒子状况是边界条件，初始空间粒子分布是初始条件。更有实际意义的例子就是，一群粒子在空中降落，粒子既会由于重力下落，又会因为浓度差扩散。

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