线性代数中秩的问题

解：
(1) 解向量的秩定义：满足线性方程组的最大线性无关向量组的向量个数。即：使方程成立的解向量可能不是一个，满足方程组的线性无关的解，构成一个线性无关向量组，如果满足方程的所有解，都可以用这个线性无关向量组中向量的线性组合来表示，则该向量组称为最大线性无关向量组，其所包含的线性无关向量个数就是解向量的秩。
(2) 问题的理解：满足Bx=0的解，一定满足 ABx=0；也就是凡是用Bx =0 的最大线性无关组表示的向量，都可以用ABx = 0 的最大线性无关组表示；反之ABx = 0 的最大线性无关组表示的向量不应能用Bx =0 的最大线性无关组表示，这说明Bx=0 解集中线性无关向量的个数不会多于ABx=0解集中的线性无关向量个数。
或者换一种说法Bx =0的解集是ABx=0的解集的子集，一个解集的秩不会小于其子集的秩。

如果该行列式为一个n阶行列式，那基础解系的解向量为n减去秩的数量，简单的说解向量的个数为零行数。
对有解方程组求解，并决定解的结构。这几个问题均得到完满解决：所给方程组有解，则秩(A）=秩（增广矩阵）；若秩(A）=秩=r，则r=n时，有唯一解；r<n时，有无穷多解；可用消元法求解。
当非齐次线性方程组有解时，解唯一的充要条件是对应的齐次线性方程组只有零解；解无穷多的充要条件是对应齐次线性方程组有非零解。
但反之当非齐次线性方程组的导出组仅有零解和有非零解时，不一定原方程组有唯一解或无穷解，事实上，此时方程组不一定有 ，即不一定有解。

矩阵的解向量这样求
1、计算的特征多项式；
2、求出特征方程的全部根，即为的全部特征值；
3、对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组的一个基础解系，则可求出属于特征值的全部特征向量。因为矩阵的特征向量定义是把特征值代入特征方程,运用初等行变换法,将矩阵化到最简,然后可得到基础解系。

原理：利用矩阵的行初等变换，把矩阵变成阶梯形或标准形。
方法：1定义二维数组，类型根据需要，整形或浮点型，或双精度型。
2如第1行第1列不为0，（1）用这个数除第1行所有各数（2）用这一行乘-a(i,1)加到第i行上 （3）i取遍其余各行。这样第1列除第1行外均为0
3对其余各行做类似处理，直到以下各行全部为0为止。
4不全为0的行数即是秩数。

---