动态规划【Java】

动态规划【Java】

参考文章：
https://cloud.tencent.com/developer/article/1817113

关于动态规划

动态规划算法的核心就是记住已经解决过的子问题的解。
动态规划有几个典型特征：最优子结构、状态转移方程、边界、重叠子问题。

什么样的问题可以考虑使用动态规划解决呢？

• 如果一个问题，可以把所有可能的答案穷举出来，并且穷举出来后，发现存在重叠子问题，就可以考虑使用动态规划。

动态规划问题的解题思路：

• 穷举分析
• 确定边界
• 找出规律，确定最优子结构
• 写出状态转移方程

动态规划的求解方式有两种：

• 自顶向下的备忘录法
• 自底向上

用这两个方法来解决一个经典的问题：斐波那契数列

方法一： 自顶向下的备忘录法

public static int fib(int n){
        if(n<=0){
            return n;
        }
        int[] nums=new int[n+1];
        for(int i=0;i<=n;i++){
            nums[i]=-1;
        }
        return fib(n, nums);
    }
    public static int fib(int n,int []nums)
    {
        if(nums[n]!=-1) {//如果不是-1，则表明n的值已经被算过不需要重新计算
            return nums[n];
        }
        if(n<=2) {
            nums[n] = 1;
        } 
        else {
            nums[n]=fib( n-1,nums)+fib(n-2,nums);
        }
        return nums[n];
    }

方法二： 自底向上

public static int fib(int n){
        if(n == 1){
            return 1;
        }
        if(n == 2){
            return 2;
        }
        int[] nums = new int[n + 1];//创建一个用来保存fib第n次的结果的数组
        nums[1] = 1;
        nums[2] = 2;
        for(int i = 3; i <= n; i++){
            nums[i] = nums[i - 1] + nums[i - 2];
        }
        return nums[n];
    }

根据DP的解题思路，来写一下斐波那契数列问题的过程：

1. 穷举分析

• 当n = 1时，f(1) = 1;
• 当n = 2时，f(2) = 2;
• 当n = 3时，f(3) = 3;
• 当n = 4时，f(4) = 5;
• 当n = 5时，f(5) = 8;
• 当n = 6时，f(6) = 13;
• 当n = 7时，f(7) = 21;
• …

2. 确定边界：
   根据穷举我们发现，当n大于3已经呈现出规律f(3) = f(2) + f(1) =3，因此f（1） =1，f(2) = 2就是fib的边界。

3. 找出规律，确定最优子结构
   明显是：f(n) = f(n-1) + f(n-2)

4. 写出状态转移方程
   根据前面三步就可以得到状态转移方程了：

   if(n == 1)	f(1) = 1;
   if(n == 2)  f(2) = 2;
   else	f(n) = f(n - 1) + f(n - 2);
   

例题：

• 买卖股票的最佳时机：
• 爬楼梯
• 打家劫舍
• 三道简单题

持续更新。。。