微分方程特征根怎么设？有什么规律？

一般的齐次方程形式都是ay''+by'+cy=0

那么特征方程就是ax^2+bx+c=0，(a≠0)

根据判别式来确定方程的根。

规律的话就是y'设为x，y''设为x^2，y就当做1，如果是高阶导数的话就是y^(n)=x^n

实际上这两种方法是一样的，只要说法不同而已。

当b≠1时，想把递推公式a(n+1)=ban+c改写为a(n+1)-k=b(an-k)的形式，就是找到一个新的数列{an-k}，使之成为等比数列。就看这样的k存在不存在了。

把a(n+1)-k=b(an-k)化简下是a(n+1)=ban+(k-bk)，与a(n+1)=ban+c比较，只要让k-bk=c，这就是特征方程，解出的k＝c/(1-b)称为特征根。

其实这个问题问人没有意义，多做几道例题就搞懂了

以线性递推数列通项求法为例，这里说明特征方程的应用。

关于一阶线性递推数列:

其通项公式的求法一般采用如下的参数法[1]，将递推数列转化为等比数列:

对于数列a[1]=a，a[n+1]=ca[n]+d，

设a[n+1]+t=c(a[n]+t)....①，

化简得a[n+1]=ca[n]+(c-1)t，与原递推式比较，得d=(c-1)t，

将解得的t代入①即得等比数列{a[n]+t}，用等比数列通项即可得出原数列{a[n]}。

对于二阶线性递推数列，可采用特征方程法:

对于数列a[n]，递推公式为a[n+1]=pa[n]+qa[n-1]，其特征方程为x^2=px+q

即x^2-px-q=0，

1、

若方程有两相异根α,β，则a[n]=c1·α^n+c2·β^n··

2、

若方程有两等根α=β，则a[n]=(c1+nc2)·α^n，

其中

c1,c2

可由初始条件确定，初始条件通常为a[1]与a[2]--这两个你应该是已知的，列扣两个方程，解出c1,c2。

对于更高阶的线性递推数列，只要将递推公式中每一个a[k]换成x，就是它的特征方程。解出所有根后，进一步应用时还应注意重根的问题其中当所有根x=x0均相等时，以k阶为例，a[n]=[c1+c2(n-1)+c3(n-1)^2+……+cn(n-1)^(k-1)]·x0^(n-1)。

---