波利亚(Polya)罐子模型

波利亚(Polya)罐子模型,第1张

波利亚(Polya)罐子模型 (波利亚(Polya)罐子模型)罐中有a个白球,b个黑球,每次从罐中随机抽取一球,观察其颜色后,连同附加的c个同色球  

(波利亚(Polya)罐子模型)罐中有a个白球,b个黑球,每次从罐中随机抽取一球,观察其颜色后,连同附加的c个同色球一起放回罐中,再进行下一次抽取,试用数学归纳法证明:第k次取得白球的概率为(k≥1为整数).(提示:记Ak={第k次取得白球},使用全概率公式及归纳假设.)

[证明]  记Ak={第k次取得白球},k≥1,今设命题对1≤i≤k-1成立,即对1≤i≤k-1,往证对i=k命题成立.由全概率公式:,又在A1已经发生的条件下,事件Ak发生等价于罐中有a+c个白球和b个黑球,按题设的抽取规则抽取,第k-1次抽得白球,因而由归纳假设,同理因此命题对i=k成立,由数学归纳法即知道对任何整数k≥1,成立。


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