MPC——理论知识（1）

    模型预测控制重构了追踪轨迹作为优化问题的任务。优化问题的解决方案是最佳的轨迹。模型预测控制涉及模拟不同的执行器输入，预测最终的轨迹并以最小的成本选择该轨迹。当前状态和参考轨迹是已知的。在每个时间步骤中，制动器输入被优化以便最小化预测轨迹的成本。一旦找到最低成本的轨迹，执行第一组致动器命令，其余部分被丢弃，并且在计算新的最佳轨迹时在每个时间步重复。

（1）预测模型：预测模型是模型预测控制的基础。主要功能是根据对象的历史信息和未来输入，预测系统未来的输出。对于模型预测的形式没有严格的限定，状态方程、传递函数这类传统的模型都可以作为预测模型。对于线性稳定系统，阶跃响应、脉冲响应这类非参数模型，也可以直接作为预测模型使用。

（2）滚动优化：预测模型控制通过某一性能指标的最优来确定控制作用，但优化不是一次离线进行，而是反复在线进行的。这就是滚动优化的含义，也是模型预测控制区别于传统最优控制的根本点。

（3）反馈校正：在新的采样时刻，首先检测对象的实际输出，并利用这一实时信息对基于模型的预测结果进行修正，然后进行新的优化。

控制过程中始终存在一条期望轨迹。以时刻k作为当前时刻（坐标系纵轴所在的位置），控制器结合当前的测量值和预测模型，预测系统未来一段时域内 （也被称为预测时域）系统的输出，如曲线2所示。通过求解满足目标函数的以及各种约束的优化问题，得到控制时域 内一系列的控制序列，如图中矩形波4所示（从坐标系纵轴开始），并将该控制序列的第一个元素作为受控对象的实际控制量。当下一个时刻k+1时，重复上述过程，如此滚动地完成一个个带约束的优化问题，以实现对被控对象的持续控制。

  根据所采用模型的不同，模型预测控制主要包括动态矩阵控制（DMC）、模型算法控制（MAC）、广义预测控制（GPC）等。同时，在现代控制理论中广泛使用的状态空间模型，同样可以应用于模型预测控制中。

（1）预测方程

首先考虑以下的离散线性化模型：

设定

可以得到一个新的状态空间表达式：

                   

其中

所以

可得：

为了进一步简化计算，做出如下假设：

如果系统预测时域为 ，控制时域为 ，那么预测时域内的状态量和系统输出量可以用以下算式计算:

为了使整个关系更加明确，将系统未来时刻的输出以矩阵的形式表达：

式中：

通过上式可以清楚看到，在预测时域内的状态量和输出量都可以通过系统当前的状态量 和控制时域内的控制增量 计算得到。这也就是模型预测控制算法中“预测”功能的实现。

（2）优化求解

    实际上，系统的控制增量是未知的，只有通过设定合适的优化目标，并对其进行求解，才能得到控制时域内的控制序列。

可以把控制增量作为目标函数的状态量，优化目标函数如下形式：

其中，第一项反映了系统对参考轨线的跟随能力，第二项反映了对控制量平稳变化的要求。Q和R为权重矩阵，整个表达式的功能是使系统能够尽快且平稳地跟踪上期望的轨迹。同时，在实际控制系统中，往往需要满足系统状态量以及控制量的一些约束，一般如下：

控制量约束：

控制量约束：

输出约束：

上面三个公式，形成了一个完整的优化目标表达式。通过求解这个带约束条件的优化目标，就能得到未来一段时间的控制序列。然而，由于系统的模型是实时改变的，并不能保证每个时刻该优化目标都能得到可行解。因此，有必要对优化目标进行相应的处理。比普遍并且证明有效的方式是在优化目标中加入松弛因子，如下所示：

式中， 为权重系数， 为松弛因子。

将系统输出的状态空间表达式代入优化目标式，并且将预测时域内的输出量偏差表示为：

经过相应的矩阵计算， 可以将优化目标调整为：

式中：

在式中， 为常量，因此模型预测控制在每一步的带约束优化求解问题都等价于求解如下的二次规划问题：

（3）反馈机制

    在每个控制周期内完成对上式的求解后，得到了控制时域内的一系列控制输入增量：

    根据模型预测控制的基本原理，将该控制序列中的第一个元素作为实际的控制输入增量作用于系统，即：

    系统执行这一控制量直到下一时刻。在新的时刻，系统根据状态信息重新预测下一段时域的输出，通过优化过程得到一个新的控制增量序列。如此循环，直到系统完成控制过程。

预测模型——对未来一段时间内的输出进行预测；

滚动优化——滚动进行有限时域在线优化(最优控制)；

反馈校正——通过预测误差反馈，修正预测模型，提高预测精度。

本篇以MAC算法作为开篇，对MPC算法的三大要素的流程进行分析，从而加深对模型预测控制算法的了解。

MAC算法

MAC作为一种非参数模型，以系统脉冲响应作为内部预测模型，通过过去与当前的输入输出状态，根据系统的预测模型来预测系统未来的输出状态。其开环预测和闭环预测的框图如下所示：

模型算法控制框图

通过上述框图可知，MAC算法主要由图中的四个模块所组成，各模块所代表的意义如下所示。当期望输入为 时，获取 时刻下的控制输入 ，首先得经过模块(2)求取此时的参考输出 ，并通过模块(1)求取模型输出 ，通过闭环反馈校正(4)求取预测输出 ，最终通过模块(3)算出此时的最优控制率 。注明：不讨论开环预测的情况。

预测模型；

参考轨迹；

滚动优化；

反馈校正；

一、预测模型

—————— 的求取

对于线性系统，若已知其单位脉冲响应的采样值 , ,...， ，则利用离散卷积公式，可知系统的预测模型描述可近似地用一个有限项卷积表示：

其中， 表示系统的模型预测输出； 表示系统的控制输入； 表示系统的模型向量，可通过系统辨识的方法得到[1]。

脉冲响应模型

二、参考轨迹

—————— 的求取

在MAC中，控制系统的期望输出是由现时实际输出 出发且向设定值 光滑过度的一条参考轨迹规定的。在 时刻的参考轨迹可由未来时刻的值 ， 来描述。其表征形式如下：

其中， 为参考输出； 为柔化系数，且 。

三、滚动优化

—————— 的求取

若有《最优控制》的基础，不难理解，模型预测控制(MPC)的滚动优化问题实际上是以一定的优化准则来获取最优的控制输入 。不失一般性，采用如下的优化准则：

其中， 为优化时域； 为控制时域，一般有 ； 为输出跟踪加权系数； 为输入加权系数； 为预测输出。

不难发现，若要根据上述的优化准则获取最优控制输入 ，还必须知道其预测输出 。因此，针对 的求取，引入了模型预测控制(MPC)的第三个要素——反馈校正。

四、反馈校正

—————— 的求取

以闭环预测为例， 时刻系统的闭环预测输出可记为

其中，

， 为反馈系数矩阵

五、最优控制率

由前面的分析可知，根据预测模型 、参考轨迹 、闭环预测 即可求解出性能指标 下的无约束MAC最优化控制率：

其中， ， 。

最优即时控制量为：

其中，

小结

通过分析MAC算法的过程可以大致了解模型预测控制(MPC)的实现过程，但在具体设计时，还有一些设计细节需要注意，如控制时域、预测时域长度的选择，权重矩阵系数的调节等都是需要注意的。

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Microsoft的代理使用的角色文档 ^z_~e@U

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一种压缩格式文档，压缩率甚至超过WinRAR,可以使用WINACE等工具打开 3AWg43L7

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系统管理配置 cxVnlgq1

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音频压缩管理驱动程序,为Windows系统提供各种声音格式的编码和解码功能 ~%'M[3Rb

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同.acm，但保存于本地 U:p<pTnMR

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Microsoft Access项目扩展 (c_E*>c)

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Microsoft Access的空白项目模板 (Zp'|hx8o

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Microsoft Access的项目 V|SmkG

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声音文件，支持压缩，可以使用Windows Media Player和QuickTime Player播放 Q! WXFS

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音频文件，使用Windows Media Player播放 _3. =| @L

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音频文件，使用Windows Media Player播放 g,*LP

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音频文件，使用Windows Media Player播放 |bA\>%~

.ani Yv\>\?865

动画光标文件扩展名，例如动画沙漏。 Xgou7x<

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ASCII字符图形动画文件 7M9Ey29f

.ap Em?bV(

应用文件，存在于Dbase,Foxbase,Foxpro系统软件的环境下 (= #EJB1(

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应用文件，存在于Dbase,Foxbase,Foxpro系统软件的环境下 9\y\{DHd

.arc zg>4/10P1q

一种较早的压缩文件，可以使用WinZip,WinRAR,PKARC等软件打开 @'P\c

.arj ^26vP7

压缩文件。可以使用WinZip,WinRAR,PKARC等软件打开 Ls51U7

.art oy{ {d

是美国在线最常使用的映象格式，如果使用Windows 2000必须安装补丁才能查看 \+3amkBe

.asc Y~,ZBl,

ASCII文本文件，这些文本可以被所有类型的字处理构件处理。有些系统中也可能会使用这些文件扩展名来表示文件中包含图象信息 LlbRr.wL

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数据文件或是莲花(Lotus)1-2-3下的屏幕文件 n06T6oc

.asf B\*"rSP\

微软的媒体播放器支持的视频流，可以使用Windows Media Player播放 9IfeaoZZ4q

.ash r" 4u)H>

汇编语言包含文件，类似C/C++中的.h文件 ZF@T,i9

.asm J A!?vs

汇编语言源程序文件，一般使用MASM或者Turbo ASM编译 >tGl7Ov

.asp V)q|U6R

微软的视频流文件，可以使用Windows Media Player打开 3+~m9:9

.asp 3]MSS\uB

微软提出的Active Server Page,是服务器端脚本，常用于大型网站开发，支持数据库连接，类似PHP。可以使用Visual InterDev编写，是目前的大热门 Z~[EZgIg

.asx K."%PdC

Windows Media 媒体文件的快捷方式 K (px-jY

.au T #OrsJdu

是Internet中常用的声音文件格式，多由Sun工作站创建，可使用软件Waveform Hold and Modify 播放。Netscape Navigator中的LiveAudio也可以播放.au文件 sR^7(f!m

.avi K3*8-Be

一种使用Microsoft RIFF规范的Windows多媒体文件格式，用于存储声音和移动的图片 X<p'&

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传真浏览文档，用于传真的显示 =sFLzAu8

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传真关键词浏览器 A(2!.Y 2?*

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传真签名浏览器 @hVF}ybp

.adm hO?RsYJ.F

ADM_auto 文件 v{2euOFE

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Base64编码的文件，可以使用WinZip编码 P/?'ea

.bak ]/cVlpZ{f

备份文件，一般是被自动或是通过命令创建的辅助文件，它包含某个文件的最近一个版本，并且具有于该文件相同的文件名 JlMD_pA

.bas ]>_Ie?L)<

Basic 语言源程序文件，可编译成可执行文件,目前使用Basic开发系统的是Visual Basic e6y,)W"WW2

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批处理文件，在MS-DOS中，.bat文件是可执行文件，有一系列命令构成，其中可以包含对其他程序的调用 9vL n#_

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电子告示板系统文章信息文件 2leTEs5aK`

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Windows的公文包文件 *wu:fb2[(

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二进制文件，其用途依系统或应用而定 kuI%0) iZn

.bmp B{6wf)[O

Bitmap位图文件，这是微软公司开发Paint的自身格式，可以被多种Windows和Windows NT平台及许多应用程序支持，支持32位颜色，用于为Windows界面创建图标的资源文件格式。 xZc].l6

.bw PN"s ^]4

是包含各种像素信息的一中黑白图形文件格式 ?BA~$|lfxu

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.c >JUOS2

C 语言源程序文件，在C语言编译程序下编译使用 41oXOB

.cab F15Yn

Microsoft制订的压缩包格式，常用于软件的安装程序，使用Windows自带的实用程序，Extract.exe可以对其解压缩，WinZip,WinRAR等都支持这种格式 gAxf5 A_x)

.cad kl+^0i

AUTOCAD 图形文件 2zN"*Wkn

.cal hwj:$mR

Windows 中的日历文件 *{ fL t

.cbx 2M$^|j:[

标签文件，存在于Dbase,Foxbase,Foxpro系列软件的环境下 tmVGJ+gz

.cda gF53[\w^v

保存在AudioCD上的CD音轨 WT_4YM\bz

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.eps Zog&:]P'F

用PostScript语言描述的一种图形文件格式，以文本文件保存，在PostScript图形打印机上能打印出高品质的图形图象，最高能表示32位图形图象 b-Xc6f

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编译错误文件，存在于Dbase,Foxbase,Foxpro系列软件环境下 8kYI ~

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可执行文件，虽然后缀名相同，但具有不同的格式和版本 ({!S!k

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3DS使用的显示卡驱动程序 H7?Sd(U

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Txt文件 ^SvGSx i

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键宏文件，存在于Dbase,Foxbase,Foxpro系列软件的环境下 ,?oC+9w

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Autodesk Animator和Animatorpro的动画文件，支持256色，最大的图象象索是64000*64000,支持压缩，广泛用于动画图形中的动画序列，计算机辅助设计和计算机游戏应用程序 U>0~/o

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保存的搜索结果 ^`+Kjhht

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点阵字库文件 #I}w$j i

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Fortran语言程序 'BX U '

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指向字体的快捷键 [pX cKN

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配置文件，存在于Dbase,Foxbase,Foxpro系列软件的环境下 Fp~0 ^

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备注字段文件，存在于Dbase,Foxbase,Foxpro系列软件的环境下 d$B+xW

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报表文件,存在于Dbase,Foxbase,Foxpro系列软件的环境下 k2:mIp\

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报表文件,存在于Dbase,Foxbase,Foxpro系列软件的环境下 4vyJ<b

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编译后的程序，存在于Dbase,Foxbase,Foxpro系列软件的环境下 UL0n>Wa5

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C语言源程序头文件 mk[<=k~

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Windows应用程序帮助文件 cF}9ldc

.hqx @<z#a9

Macintosh中使用BinHex将二进制文件编码为7位的文本文件，大多数Macintosh文件皆以.hqx出现(.bin极少使用)，在Macintosh中,可使用StuffIt Expander对.hqx解码，在Windows中可使用BinHex 13解码 TGzs|-

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超级终端 d=/a{lP\

.htm rq | >z.

保存超文本描述语言的文本文件，用于描述各种各样的网页，使用各种浏览器打开 7'RU\0QG

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同.htm文件 G\#dMCk?

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图象配色描述文件 I 8 Ls_$[

.ico ZmZ7E]c

Windows中的图标文件，可以包含同一个图标的多种格式，使用图标编辑软件创建 VL2ACv(

.idf Z[9f8/6<b

MIDI乐器定义 hEAP,)>F

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索引文件，存在于Dbase,Foxbase,Foxpro系列软件的环境下 tNYCyw{K

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文件交换格式文件，这种文件格式多用于Amiga平台,在这种平台上它几乎可以存储各种类型的数据，在其它平台上，IFF文件格式多用于存储图象和声音文件 fX}dQN~z

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MAcintosh磁盘映象文件，常见于萍果机的FTP网点，在Macintosh中由Shrink Wrap处理 9On(b|mT

.ime GL3ol KnL

Windows下的输入法文件 g42f*~l

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磁盘映象文件，用HD-COPY,WinImage等工具打开后可以恢复到一张磁盘上 zN>tSdNkI-

.inc { u1\M

汇编语言包含文件，类似C/C++中的.H文件 <26Jif:

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Windows下的软件安装信息，Windows的标准安装程序根据此文件内的安装信息对软件，驱动程序等进行安装 F/U38[

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Windows中的初始化信息文件,已经用的不多了，新的应用程序将设置保存在系统的注册表中 # i| AE`

.jar FWuk@t[<O

一种压缩文件，ARJ的新版本，不过不太流行，可以使用WinJar,Winrar等打开 E(0[/N~

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一种图片压缩文件,同.jpg _rfGn,@BH

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静态图象专家组制订的静态图象压缩标准，具有很高的压缩比，使用非常广泛，可使用PhotoShop等图象处理软件创建 .{66q#.

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JobObject H+Se

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Jpeg文件 *)um^O

.kbd H@BU/{

键盘布局文件 TZ]o6Bb

.lmb Xjnv8{X

Deluxe Paint中使用的一种图形文件格式，其编码方式类似于*.iff L(\o66a-rV

.lnk i2 m+s

快捷方式，这个文件指向另一个文件，开始菜单的程序文件夹下每条项目都是一个LNK文件 "CF{Mu|Q=

.log Nm,9xq

日志文件,通常用来记录一些事件之类 V] 0~BV

.lzh 0ZjinWkR[

一种古老的压缩文件，可以使用WinRAR打开 ~t.M!vk

$C~OV@I

.mac 6qkMB|@Ix

Macintosh中使用的一中灰度图形文件格式，在Macintosh Paintbrush中使用，其分辨率只能是720*567 !i*bb~

.mag j3)fmlA

图形文件格式 R[_UbN 28

.mcc PF!=8dW

Dialer10CallingCard(电话卡文件) pv){Rf

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MCI命令集 PcQqdU^!

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Microsoft Access使用的数据库格式，是非常流行的桌面数据库 >{huaN B

.men E4dN,^_ F!

内存应用文件,存在于Dbase,Foxbase,Foxpro系列软件的环境下 95^A !

.mid tf_ <w?~

音频压缩文件，曾经非常流行，不过在现在的软件中用的很少了 MH=[| N

.mif )Me$BK>

MIDI乐器 gS$?#!f

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Microsoft 邮件，比较少见 YdNmnB %J

.mnt G>yTv`-

菜单文件，存在于Dbase,Foxbase,Foxpro系列软件的环境下 >p|tIST

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菜单文件，存在于Dbase,Foxbase,Foxpro系列软件的环境下 p&|:,|jo5

.moov 2J5RZg9jL

QuickTime或苹果机的影视格式，在Macintosh中由Sparkle,FastPlayer,MoviePlayer等软件播放，在Windows中可由Quicktime播放 Bp>Z?"hTe

.mov u >W:SM

使用Apple's QuickTime格式的电影文件，在Macintosh中由Sparkle,FastPlayer,MoviePlayer等软件播放，在Windows中可由Quicktime播放 3(n+5~{e

.movie qkk!1W

QuickTime或苹果机的影视格式，在Macintosh中由Sparkle,FastPlayer,MoviePlayer等软件播放,在Windows中可由QuickTime播放 "fTW2D74

.mp3 vv% o+r-t

采用MPEG-1 Layout 3标准压缩的音频文件，是网上主要的压缩音频文件，这种文件由于具有极高的压缩率和失真低的特点，是目前音乐盗版的主要文件格式，但目前受到VQF,WMA等新标准的挑战 Td"_To@jd

.mpg ,q|`?R

采用MPEG-1标准压缩的视频文件，与VCD使用的格式非常相近，提供CD质量的音频信号和320*240的视频分辩率，目前的媒体播放软件大都能播放,Microsoft的WMV8和MPEG-4压缩的AVI文件是其强大的竞争对手 :497]c3#5C

.mpt {i09e1

Macintosh中使用的一种图形文件格式 k 9Xv@v

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Microsoft邮件文档 4gkaCk{]

.msk DN%b!K:

Animator Pro中的一种图形文件格式，其中包含一个位图图形 EFqYEDXW

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Microsoft网络的文件 Je1'0h9d

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Mplayer 4u.Fy<+@4M

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