（应邀，小石头尝试着来回答这个问题）圆的周长公式我们知道在二维几何平面上，对于 以原点为圆心，R为半径的 圆 C，在笛卡尔直角坐标下，曲线方程为：x² + y² = R²在 极坐标下，曲线方程为：ρ = R， θ ∈ (-π, π]两者结合，就得到 一个笛卡尔直角坐标下参数方程（θ ∈ (-π, π]）：x = R cosθy = R sinθ利用，关于弧长的曲线积分公式：令， f(x, y) = 1，就是 计算 曲线 L 的 弧长 的公式。
这里，我们 将C 看成 从 a = (-R, 0) 点 出发 按照逆时针方向 旋转一周 又回到 a 点的曲线，于是，计算 C 的 弧长为：这个弧长就是 C 的周长，这样，我们就得到了，所熟悉的 圆的周长公式：C = 2πR考虑，C 位于 X 之上的部分 C'，令，t = x，则 C' 的参数方程为（t ∈ [-R, R]）：x = ty = √(R²-t²)同样，利用上面的弧长公式，计算 C' 的弧长为：而 C 的周长显然是 C' 弧长的 2 倍，于是，我们就又得到了圆的周长公式：C = 2C' = 2πR圆的面积公式设，圆 C 的内部圆盘 为：S = {(x, y) | x² + y² ≤ R² }在 平面极坐标下，圆盘 S 可以被分割为无数的 "小扇形 "，每个 小扇形 的面积 近似等于 以弧长 Δl = R Δθ 为底 以半径 R 为高的 三角形面积：ΔS = (1/2)R(RΔθ) = (R²/2) Δθ这些 ΔS 全部加起来，然后让 每个 ΔS 尽量小，即， Δθ 取 0 的极限，这样，就得到一个黎曼积分，这个结果就是 全部小扇形 的面积 之和，即，S 的面积，于是我们得到，圆的面积公式：S = πR²上面的结果，告诉我们，其实，在 关于弧长的曲线积分公式 中，令 F(x, y) = (R²/2)，对 圆周 C 进行 弧长积分，就可以得到 圆的面积 S。
反正都是常数，不妨让 f(θ) = (R²/2)，则 S 面积 为 如下黎曼积分：同样在 平面极坐标下，我们还可以将 S 分成无数的 小圆环，将周长公式中半径设为变量 ρ 于是得到周长函数：f(ρ) = 2πρ这样，每个小圆环的面积 近似的等于，以 周长为高 以 内径为底的矩形面积（想象将小圆环 从 极轴处水平剪开，然后上下拉直，由于圆环很薄因此内外周长几乎相等，构成矩形的左右两个边， 而内径本来就相同，构成矩形的上下两个边）：ΔSᵢ = f(ξᵢ)Δρᵢ其中，Δρᵢ = ρᵢ - ρᵢ₋₁，ξᵢ ∈ [ρᵢ₋₁, ρᵢ]，又令 λ = max{Δρᵢ, i = 1, ..., n} 于是我们又得到一个标准的黎曼积分：这个结果就是 全部小圆环 的面积 之和，即，S 的面积，于是我们又得到圆的面积公式：S = πR²上面的结果说明一个事实：以半径 ρ 为变量的，面积函数 F(ρ) = πρ² 是 周长函数 f(ρ) = 2πρ 的原函数，并且 有条件 F(0) = 0，使得不定积分常数 C = 0，即，绘制成图如下：反过来，这同样说明：圆的周长函数 f(ρ) = 2πρ 是 面积函数 F(ρ) = πρ² 的导数，所以，我们其实可以从圆的面积公式通过求导得到圆的周长公式，即，从 S 的面积公式通过求导得到 C 的周长公式，这要求 求得 S 面积时 不使用 C 的周长公式，可以考虑，平面直角坐标系下， C 在 第Ⅰ象限的部分，C 的这部分的函数为：y = f(x) = √(R² - x²)于是直接利用 黎曼积分，可以求出 S 在 第Ⅰ象限 部分 S' 的面积 如下：注意：为了节约篇幅，从这里开始，复杂的不定积分推导过程均省略，有兴趣大家可以自行推导。
而根据 对称性，S 的面积 是 S' 的 4 倍，于是我们就双得到了圆面积公式：S = 4S' = 4(πR²/4) = πR²还可以利用，格林公式：这里，D 就是 S，L 就是 C，只要设，Q(x, y) = x, P(x, y) = 1于是，格林公式左边为：这就是 S 的面积。
接着 利用，两类曲线积分的关系：结合 上面 C 的 第一个参数方程，格林公式右边为：格林公式左右联立，于是我们叒得到圆的面积公式：S = ∬_D (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dxdy = ∮_C (Pdx + Qdy) = πR²其实，也可以直接 求 上面的 二重黎曼积分，另外，在平面极坐标下，考虑 二重黎曼积分 更一般的形式：可以将 S 的内部 分为 许多 ”小扇面“，每一个小扇面的面积，近似等于红色梯形面积（大三角形减去小三角形）：Δσᵢ = 1/2 ρᵢ² Δθᵢ - 1/2 (ρᵢ - Δρᵢ)² Δθᵢ = [(ρᵢ + ρᵢ₋₁) / 2] Δρᵢ Δθᵢ = ρ'ᵢ Δρᵢ Δθᵢ其中，Δθᵢ = θᵢ - θᵢ₋₁, Δρᵢ = ρᵢ - ρᵢ₋₁，令，λ = max{Δσᵢ, i= 1, 2, ..., n = m²}，并取小扇面 的中心点 (ρ'ᵢ, θ'ᵢ) 处 的 二元函数值 f(ρ'ᵢcosθ', ρ'ᵢsinθ')，于是就得到了 极坐标下的二重积分计算公式：注意：以上的推导过程，可以 从 圆盘 S 扩展到 任意 有界封闭区域 D。
利用，上面的 二重积分计算公式，有：这样，我们就叕得到了圆的面积公式。
球的表面积公式在三维空间中，以 圆点为 球心，以 R 为半径的 球面 B，在笛卡尔直角坐标下，曲面方程为：x² + y² + z² = R²于是，球面 B 在 XOY 平面的上半部分 的 曲面 B' 对应的二元函数为：z = f(x, y) = √(R² - x² - y²)对于 XOY平面 上 的任意 中心 为 (x, y) 的 一小块 Δσ 沿着Z轴（垂直于 XOY平面），投影到 B' 上的面积，近似于 投影 到 B' 在 (x, y, f(x, y)) 处 切面 上的面积 Δm , 设 r 是 该切面 与 XOY平面 的夹角，则有：Δm = Δσ / cos r为什么呢？因为：Δσ 可以分成 无数个小矩形：Δσ = ∑ aᵢ × bᵢ让 aᵢ 边 与 切面 与 XOY平面 交线 平行，于是 bᵢ 边 就与 交线 垂直，这样 aᵢ 边 在 切面上的投影仍然是 aᵢ ，bᵢ 边在切面上的投影 则是 bᵢ / cos r，于是 每个小矩形 在切面上的投影 面积 为 (aᵢ × bᵢ) /cos r，进而有：Δm =∑ (aᵢ × bᵢ) / cos r = Δσ / cos r另外，根据立体几何知识，我们知道：B' 在 (x, y, f(x, y)) 处 的切面 与 XOY 平面 的夹角 等于 B' 在 (x, y, f(x, y)) 点 切面法线 和 Z 轴 的夹角，又因为，B' 在 (x, y, f(x, y)) 点的 切面法线向量 为：n = (-∂f/∂x, -∂f/∂y, 1)Z 轴 单位向量 为：k = (0, 0, 1)所以，根据内积的定义，有：cos r = n ⋅ k / |n||k| = 1/√((∂f/∂x)² + (∂f/∂y)² + 1)注意：上面的结论（以及证明过程）适用于，任何可表示为 函数 z = f(x, y) 形式的 正则曲面，而非仅仅是 B'。
对于曲面 B' 来说，有：∂f/∂x = -x/√(R - x² - y²) , ∂f/∂y = -y/√(R - x² - y²)带入上面得到：cos r = 1/(√ x² / (R² - x² - y²) + y² / (R² - x² - y²) + 1) = √(R² - x² - y²) / R于是，曲面B' 面积 的 二重黎曼积分为：再利用，前面推导出来的 极坐标下二重积分的计算公式，有：最后，根据对称性 B 的表面积 是 B' 的两倍，于是我们得到 球的表面积公式：B = 2B' = 4πR²考虑，沿着 X 轴，并垂直于 X 轴 将 球体 切成 无数 薄片，和上面类似，对于每一个薄片，外圈表面积 ΔBᵢ 同样是 顶面半径 为 √(R² - x²) 的 圆柱体 圆面 面积 2π√(R² - x²) Δxᵢ 的 1/cos r 倍数，这里的 r 是，曲线 y = f(x) = √(R² - x²) 上 (x, f(x)) 点 处切线 和 X 轴的 夹角，也等于 曲线 在该点 处 切线法线 n = (-f', 1) 和 Y轴 单位向量 j = (0, 1) 的夹角。
同样，根据内积公式有：cos r = n ⋅ k / |n||k| = 1/√(f'² + 1) = 1 / √((-x/√(R² - x²)) ² + 1) = 1 / √(x²/(R² - x²) + 1) = √(R² - x²) / R于是，ΔBᵢ = 2π√(R² - x²) Δxᵢ / cos r = 2πR Δxᵢ进而，令 λ = max{Δxᵢ, i = 1, ..., n} 使用黎曼积分，就得到 B 的表面积：球的体积公式设，球面 B 内部球体 为：V = {(x, y, z) | x² + y² + z² ≤ R² }与上面类似，沿着 X 轴，并垂直于 X 轴 将 球体 V 切成 无数 薄片，则每个厚度为 Δxᵢ = xᵢ - xᵢ₋₁ 的薄片的体积 近似等于 半径为 √(R² - ξᵢ²) （ξᵢ ∈ [xᵢ₋₁, xᵢ]） 的 同样厚度的圆柱体的体积：ΔVᵢ = π(√(R² - ξᵢ²))² Δxᵢ = π(R² - ξᵢ²) Δxᵢ接着，令 λ = max{Δxᵢ, i = 1, ..., n} ，使用 黎曼积分，就得到 V 的体积：当然我们也可使用三重积分计算球的体积。
利用，柱面坐标计算三重积分和上面的方法类似，这里略。
利用，球面坐标下的三重积分计算公式：对于，P 点的 球面坐标 定义为：ρ ∈ [0, R]为 |OP|，φ ∈[0, π] 为 OP 于 Z 轴夹角，θ ∈[-π, π] 为 OP 在 XOY 平面上的投影 与 X 轴的夹角，则，有，这个公式的推导，和上面 极坐标下二重重积分计算公式的推导非常类似，有兴趣大家可以自己试一试。
对于 球体 V 的体积，来说：f(x, y, z) = F(ρ, φ, θ) = 1, ρ(φ, θ) = R于是，有：最后，大家需要知道，为了不分散注意力，以上所有积分均忽略了 函数 是否在 区域边界处有意义问题！如果，函数在边界无定义，则可以通过 有定义的闭区域 极限逼近 的方法求得，一般来说，最后结果和不考虑其实一样。
例如，f(x) 在 [a, b) 有定义，在 b 点无定义，则 f(x) 在 [a, b] 上的积分 可以定义为：（当然，用微积分推导 圆或球的相关几何公式，不止以上介绍的这些！小石头这里只是抛砖引玉，欢迎大家讨论！）（由于小石头数学水平有限，出错在所难免，欢迎各位老师和同学批评指正。
）
圆的周长从圆心做三角形顶点到圆上可以分割n个三角直角三角形，一个直角边是半径，另外是圆周长上的微分.1/2r△x,所有的△x加起来正好是圆周长，所以圆面积等于∏r2
欢迎分享，转载请注明来源：内存溢出
微信扫一扫
支付宝扫一扫
评论列表（0条）