为什么负负得正

为什么负负得正 为什么数学里面必须是负负得正，是什么原理呀？

美国诗人奥登（W.H.Auden, 1907~1973）曾武断地说：“负负得正，其理由我们无须解释！”奥登的话暗示我们：许许多多的人在徒劳地寻求“负负得正”这个“悖论”就让他尝到了苦头。

事实上，自从负数 概念进入数学课本以来，人们就没有停止过“负负得正”合理性的质疑。

“负负得正”成了一个教学难点。

对于这个问题，也许有人会用M.克莱因的“负债模型”进行回答：“一人每天欠债5美元，给定日期（0美元），3天后欠债15美元。

如果将5美元的债记成-5，那么每天欠债5美元，欠债3天可以用数学算式来表达：3×（-5）＝-15. 同样，一人每天欠债5美元，那么给定日期（0美元），3天前，他的财产比给定的日期的财产多15美元。

如果我们用-3表示3天前，用-5表示每天欠债，那么3天前他的经济情况可表示为（-3）×（-5）=15”。

作为规定翻阅了我们使用的教材。

然而我十分失望，因为教材的说法没办法解释我们的疑惑！教材的相关内容如下：前面已经得出：3×（-2）=-6“再试一试：（-3）×（-2）=？把它与（-3）×2=-6,对比，这里把一个因数“2”换成了它的相反数‘-6’，所得的即积应该是原来的积‘-6’的相反数6，即（-3）×（-2）=6 .”。

那为什么其中一个因数替换成相反数，积就一定会变成原来的相反数？对此书本并没有任何解释。

事实上，教材使用的思路是先通过对比“3×2=6”和容易解释的“（-3）×2=-6”这两个等式，总结出“两数相乘，若把一个因数换成它的相反数，则所得的积是原来的积的相反数.”于是再进一步由于“（-3）×（-2）是在（-3）×2的基础上，把因数‘-2’换成相反数‘2’，于是所得的积也会是原来的相反数‘6’。

”可以说，整数集Z上的一个二元运算是一个函数f:Z×Z→Z。

如果f在自然数集合N上的限制f:N×N→Z的值都落在N内，而且和自然数乘法的结果一致，它就可以被看作是自然数乘法运算在整数上的推广，可以被叫做整数“乘法”。

显然是因为，负负得正的整数普通乘法比起其他的对自然数乘法的推广来说，有它的好处，而且是大好处。

实用方面的考虑（﹣5）×（﹣100）什么意思？是你卖草莓连续﹣5天每天亏损100元？好像哪里不对劲。

在这种现实情境下有点说不清道不明。

那咱们用数学的方法试试。

在说明负数乘负数之前先来复习一下小学的几个运算律，当然受过九年义务的“摧残”的我们都会。

我们由0=0×（﹣100）开始我们利用了已有的加法和乘法运算律，中间出现了（﹣5）×（﹣100），怎么办？我们只能让它的结果是500。

苏联著名数学家盖尔范德（I.Gelfand, 1913~2009）则作了另一种解释：3×5=15：得到5美元3次，即得到15美元；3×(－5)=－15：付5美元罚金3次，即付罚金15美元；(－3)×5=－15：没有得到5美元3次，即没有得到15美元；(－3)×(－5)=+15：未付5美元罚金3次，即得到15美元。

两百年前，法国有一个男孩叫司汤达，他小时候特别热爱数学。

当他在学校学到乘法法则的时候，对“负负得正”这个法则，完全没有办法理解。

于是他向老师迪皮伊先生请教，然而老师对他的提问却是不屑一顾，让他记住就好。

司汤达又去问补习学校的数学老师夏贝尔先生，夏贝尔先生不胜其烦，不断重复书本的描述不能让小司汤达满意，最后抛出一个“负数如同欠债”这样的比喻。

然而这仍无法解释小司汤达的困惑：“500法郎的债乘10000法郎的债，得到5000000法郎的收入？”，这怎么解释得通？“负负得正”这个问题困扰了司汤达很久，最后他被迫接受了这个法则，但数学这门学问的严密性也让他深深质疑。

以后他对数学再也没有那么大的兴趣了，而把更大的兴趣放在了文学上。

后来聪明的司汤达成为了一位伟大的文学家，名著《红与黑》正是出自他的手笔。

这个故事令人唏嘘不已。

要是当年司汤达的老师认真考虑一下同学的提问，而不是直接用“这是规定，没有为什么”之类的语言搪塞，扼杀学生的好奇心，那么或许以司汤达的聪明才智他也会在数学上很有成就呢！高等数学中“群”、“环“等知识进行的解释与证明证明1（由相反数的意义）由抽象代数知识：Ｚ是整环，Q是Z的分式城，故（Q，+，·）构成环（其中Q为所有有理数构成的集合，乙是所有整数构成的集合）对任意的a，c∈Q，且a，c>0因为（Q，+）构成群，故存在b=Q，使得a+b=0（0为Q中的零元），又团为bc=（0-a）c=[0+（-a）]c=0-c+（-a）e=（-a）c，即bc=（-a）c（*）.两边同时加上ac，得：ac+bc=ac+（-a）c.因为（Q，+，·）构成坏，由乘法对加法的右分配律：（-a）c＋ac=[（-a）+a]c=0-c=0，即；ac+bc=0，也即bc=-ax，联合（*）式得：bc=（-a）c=-ax. 故：（-a）c=-ac.结论1：两个有理数a，c相乘，把a换成-a后，即（-a）与c相乘为原来积ac的相反数ac.对a与（-c）相乘，可由结论l得结论2：两个有理数a，（-c）相乘，把a换成-a后，即-a与-c相乘为原来积（-ａｃ）的相反数ａｃ．但事实上，这也就隐含地说明了“负负得正”的原因。

一点感想读书时还有一个疑问，在学习无理数时对“无理数”这个名称感觉怪怪的，有理数是“有道理的数”？无理数难道是“没道理的数”？既然没道理我们还学它干嘛？这个疑问直到多年后偶然看到孙维刚老师的解释才迷团顿解。

原来，“有理数”和“无理数”这两个名词是从西方传来，在英语中是“rational number”和“irrational number”。

而rational通常的意义是“理性的”，日本人据此把它翻译成“有理数”和“无理数”。

中国在近代翻译西方科学著作，照搬了日语中的翻译方法。

但是，这个词来源于古希腊，其英文词根为ratio，就是比率的意思（这里的词根是英语中的，希腊语意义与之相同）。

所以这个词的意义也很显豁，就是整数的“比”。

与之相对，“无理数”就是不能精确表示为两个整数之比的数，而并非“没有道理”。

所以更为合适的翻译应为“可比数”和“不可比数”，有理数都可化为两个整数的比，无理数则不能，这样从名称就可以反映它们的意义和本质。

我想如果老师能对一些不易理解的概念名词作合理的生活化的解释，学生就可以更轻松地接受新概念，更顺畅地理解新概念，也更自然地加深了记忆。

有人这样用类比的方法解释乘法符号法则的合理性：好为正，坏为负。

好人好报是好事⇒ 正×正=正；好人坏报是坏事⇒ 正×负=负；坏人好报是坏事⇒ 负×正=负；坏人坏报是好事⇒ 负×负=正。

细想一下，其中的道理确有相通之处，正是日常事理与数学规则的完美结合。

“19世纪德国数学家汉克尔（H.Hankel）早就告诉我们：在形式化的算术中，‘负负得正’是不能证明的。

大数学家F.克莱因（F.Klein）也提出忠告：不要试图去证明符号法则的逻辑必要性。

”参考文献1.佟巍, 汪晓勤. 负数的历史与“负负得正”的引入[J]. 中学数学教学参考, 2005(Z1): 126-128.

因为负意味着反方向，反方向的反方向就是正方向。

所以负负得正。