什么是一次函数

一次函数是初中学段函数章节所学第一个也是最简单的一个函数模型，是初中学段学好函数章节的敲门砖和铺路石。

因而，学习一次函数所获得一些经验和解题方法，可以直接作用于后续的函数模型：反比例函数/二次函数，甚至高中学段的幂函数/指数函数/对数函数等。

本文与其说是在回答解答一次函数题时的一些注意事项（不是技巧，也没有那么多功利性的技巧，只是常规常法，通法。

）倒不如说是在为后续学习其他函数模型，提供借鉴和参考。

因而，我们可以通过这个回答，把眼光放大到整个函数章节，而不仅仅局限于解答一次函数题。

一。

关于一次函数的概念【举例1】下列图示揭示x，y之间关系属于一次函数的是（ ）分析：仅从“形”看，三个图形都是“直（折）线”型，知识点：一次函数的图象是直线！但其逆命题未必为真，也就是说，图象（形）是直（折）线的，不一定是一次函数哟！图A，压根就不是函数关系，当然更谈不上一次函数了。

存在一个特定的x的值，对应两个不同y值的情形，俗称“一对多”，而“一对多”在函数概念中是被禁止的！图C，是函数，但不是一次函数。

图中不同x的取值，都有y的值与之对应，并且这些y值都是相等的（没有变化），因而是常函数，即y=k（k为常数）形式。

图B，是函数，并且是一次函数，是分段函数。

图中从折线的“拐点”处分段，“拐点”的两侧分别对应不同的表达式，但两个表达式都符合y=kx+b的形式。

所以举例1的正确答案：图B综述：一次函数的图象是直线，但图象是直线的函数不一定一次函数！二。

关于一次函数表达式【举例2】已知A(1,-5/2),B(-2,13/2),C(6,m)三点共线，求m的值。

分析：理解三点共线的含义：由已知点A，B确定直线AB，则点C必在直线AB上。

直线AB是一次函数，设其表达式为y=kx+b，用待定系数法，可以求出k，b，进而求出直线AB的表达式；再将x=6代入该表达式，即可求出m的值。

实际 *** 作：设直线AB的表达式为y=kx+b，依题意得方程组-5/2=k+b，13/2=-2k+b解得k=-3，b=1/2，因而直线AB为y=-3x+1/2，又因为A,B,C三点共线，所以点C在直线AB：y=-3x+1/2上，因而当x=6时，m=-3×6+1/2=-71/2综述：1.三点共线，即第三点一定在前两个点所确定的直线上；2.点在直线上（直线过某点），即点的坐标满足直线的表达式；3.确定一次函数的表达式，只需要两个已知点（两组对应值）；4.求一次函数的表达式，用待定系数法解决。

三。

关于一次函数的实际应用【举例3】某工厂建有一大型蓄水池用于生产。

蓄水池有进、出水管各一个，每晚注满水，从上午8点时开始供水，当水池低于某水位时，进水管开始自动注水，水池的水量y（立方米）与时间x（时）之间的关系如图所示。

（1）根据图象提供的信息写出蓄水池最大蓄水量，并计算出水管每小时的流量；（2）18时工厂停止生产后，蓄水池只注水，求此阶段y与x的函数关系式，并求将水池注满水时x的值。

分析：这是一道解决实际问题的应用题，表面看涉及到一次函数，其实不必生搬硬套待定系数法。

利用数形结合，通过读图，理解问题背景的三个量：进（出）水量，进（出）水速度，时间三者之间关系：进（出）水速度=水量/时间，进而根据题目所给时间进行分段，逐段弄清进出水的情况，利用算术方法即可解决。

实际 *** 作：如下图所示AB段：y=500，0≤x≤8 水已注满，蓄水量最大500立方米；BC段：y=500－【（500－100）/（16－8）】（x－8）=900－50x，8＜x≤16在BC段，工厂开工用水，水量只出不进，逐渐减少，出水管的出水速度=（500－100）/（16－8）=50立方米/时；CD段： y=100＋【（200－100）/（18－16）】（x－16）=50x－700，16＜x≤18进水管开始自动注水，出水管还在出水，此段水量有进有出，进水量大于出水量，进出水的速度差=（200－100）/（18－16）=50立方米/时，所以进水速度=出水速度＋50=50＋50=100立方米/时；DE段：停工注水，只进不出，将水池注满（500立方米）需要增加300立方米，进水速度=100立方米/时所以注满水池的时间=300/100=3小时，注满水的时刻x=18＋3=21时综述：1.分析清楚每个时间段进出水的情况，是决定本题成败的关键；2.死板套用待定系数法还是直接用算术方法解决，是考查一次函数知识点是否学活的试金石。

四。

关于一次函数与几何的综合【举例4】在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是边BC的高，点E在高AD上（点E不与A，D重合），过点E作FG∥BC，分别交两边AB，AC 于点F，G，连结DG，过点F作FH∥DG，交边BC于点H.已知BC=12，设AE=x，在点E的运动过程中，FG，DE随x的变化的图象如图29-2所示（直线的一部分），根据图29-1，图29-2提供的信息解决下列问题：（1）求AD的值；（2）求x的取值范围，并求当x为何值时，四边形FGDH的面积最大，最大面积是多少？（3）求AB，AC的值.分析：这是一道典型数形结合，代数与几何结合的动点问题，有一定的难度。

突破点：1.在点E运动过程中，有两个事实：其一，△AFG∽△ABC；其二，平行四边形FGDH；2.结合图形和图象，发现一些特殊点（位置），解决特殊线段的长。

实际 *** 作：（1）由图29-2可知，当AE=2时，DE=4，所以，AD=AE+DE=2+4=6；因而，AD = m =6.FG∥BC→∠AFG∠=ABC，∠BAC=∠BAC=>△AFG∽△ABC=>AE:AD=FG:BC =>FG=12AE/AD，即yFG=x，由图29-1得，当x=2时，yFG=4，∴4=2k，即k=2，∴yFG=2x，∴12/AD=2，即AD=6;（2）由图29-1可知，∵AD=AE+DE，∴DE=AD－AE，即yDE=6－x，∴m=6，由图29-2可知，0<x≤n，结合图形分析得知，当AE=x=n时，H点刚好与点B重合，此时HD=FG=BD，设FG与x的函数关系式为yDE=kx，∵当x=2时，yFG=4，∴4=2k，即k=2，∴yDE=2x，∵当x=n时，yFG=m=6，∴6=2n，即n=3，∴0<x≤3；∵FG∥BC，DG∥FH， ∴平行四边形FGDH，∴平行四边形FGDH的面积 =FG×DE=2x（6－x）=－2（x^2－6x）=－2（x^2－6x+9－9）=－2（x－3）^2+18≤18，∴四边形FGDH面积的最大值为18，此时，x=3，即AE=3，即E为AD的中点时，面积最大为18.（3）由（2）可知，当x=3时，H点刚好与点B重合，此时HD=FG=BD=m=6= BC，∴D为BC的中点，又AD⊥BC，∴AB=AC，又∠BAC=90°，∴由勾股定理得，AB=AC= BC/√2=12/√2=6√2.综述：1.这类代数几何综合，数形结合的题目，利用相似及勾股定理建立数学模型，其中可能涉及到所学函数一次函数，二次函数等；2.动点问题，特别注意几何直观的运用，关注一些特殊点/特殊位置/特殊时刻。

以上从四个方面举例说明了在解答一次函数题时的一些常规常法。

列举例题综合性较强，所以有难度是肯定的，希望能对你有所启发。

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一次函数的解题技巧一次函数是初中数学最重要的内容之一，它的知识结构体系非常丰富，在具体的解题过程中会运用到许多重要的思想方法：如数形结合思想，函数思想，转化和化归的思想，综合运用思想等，掌握一次函数的解题技巧，可以提高同学们的学习效率。

一：数形结合思想例1 如图，直线y=ax+b经过点A（-1，-2）和B（-2，0），直线y=2x过点A，则不等式的解集是为：（ ）A.x<-2 B.-2<x<-1 C.-2<x<0 D.-1<x<0分析：根据不等式2x＜kx+b＜0体现的几何意义得到：直线y=kx+b上，点在点A与点B之间的横坐标的范围．解答：解：不等式2x＜kx+b＜0体现的几何意义就是直线y=kx+b上，位于直线y=2x上方，x轴下方的那部分点，显然，这些点在点A与点B之间．故选B．点评：本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．练习1：直线l1：y=k1x+b与直线l2：y=k2x+c在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k1x+b＜k2x+c的解集为（ ）A．x＞1B．x＜1C．x＞﹣2D．x＜﹣2练习2：如图，L甲、L乙分别是甲、乙两d簧的长ycm与所挂物体质量xkg之间函数关系的图象，设甲d簧每挂1kg物体伸长的长度为k甲cm，乙d簧每挂1kg物体伸长的长度为k乙cm，则k甲与k乙的关系是（ ）A．k甲＞k乙 B．k甲=k乙 C．k甲＜k乙 D．不能确定二：函数思想通过学习函数使我们逐步用函数的观点，方法去思考问题，将已知条件或所给数量关系进行转化，借助函数的图像或性质去解决问题。

例2 育才中学需要添置某种教学仪器．方案1：到商家购买，每件需要8元；方案2：学校自己制作，每件4元，另外需要制作工具的租用费120元．设需要仪器x件，方案1与方案2的费用分别为y1，y2（元）．（1）分别写出y1，y2的函数表达式；（2）当购置仪器多少件时，两种方案的费用相同？（3）若学校需要仪器50件，问采用哪种方案便宜？请说明理由．解：（1）y1=8x，y2=4x+120．（2）y1=y2，则x=30．（3）当x=50时，y1=400，y2=320，∴y2<y1选用方案（2）便宜．练习1 如图是甲、乙两家商店销售同一种产品的销售价y（元）与销售量x（件）之间的函数图象．下列说法：①售2件时甲、乙两家售价一样；②买1件时买乙家的合算；③买3件时买甲家的合算；④买乙家的1件售价约为3元，其中正确的说法是（ ）A．①② B．②③④ C．②③ D．①②③练习2 如图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程中路程随时间变化的图象（分别是正比例函数图象和一次函数图象），根据图象解答下列问题：（1）请分别求出表示轮船和快艇行驶过程的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）轮船和快艇在途中（不包括起点和终点）行驶的速度分别是多少？（3）问快艇出发多长时间赶上轮船？三：转化和化归的思想转化和化归思想的核心是把生题转化为熟题，将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题，将未解决问题化归为已解决问题例3 函数y=2x与y=x+1的图象的交点坐标为（ ）分析：根据两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解，所以解方程组即可得到两直线的交点坐标（1，2）．考点：1.两条直线相交或平行问题；2.直线上点的坐标与方程的关系．练习1 过点（-1，7）的一条直线与x轴，y轴分别相交于点A，B，且与直线平行．则在线段AB上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是（ ）练习2 已知一次函数y=kx+3的图象与直线y=2x平行，那么此一次函数的解析式为（ ）