狄利克雷函数图像

其实很多。

而且，可以证明，这种函数事实上不在“少数”，甚至比那些“正常”的函数“多得多”。

狄拉克δ函数（冲激函数）学信号处理的同学对它可以说相当熟悉了。

其实我们是没法画出这个图像的，因为它在原点处的幅度是无穷大，但是在“这一点”的面积又是1。

魏尔斯特拉斯函数在数学发展史上，人们一直猜测，连续函数必然是近乎可导的。

即：连续函数在其定义域中，除去有限个点外，总有一些光滑的可导部分，所谓不可导的点必然只是有限的。

1872年，德国数学家魏尔斯特拉斯（集合论创始人康托尔的导师）利用函数项级数构造了一个函数，数学描述如下：这个函数奇葩在于，它处处连续，却处处不可导。

简而言之，它的尖刺折点是如此之多，以至于无论你放多大，在多细微的尺度观察任何一段，函数图像都不会更光滑，它处处都是尖锐的。

它是一种不可测函数，你无法用笔画出图像的任何一部分，因为每一点的导数都不存在，画的人将无法知道每一点该朝哪个方向画。

通过计算机逐点描绘，函数图像大致是这样的：该反例构造出来后，在数学界引起极大的震动。

随后，这个例子促成了一门新的学科“分形几何”的产生，所谓“分形”，就是指某图案的局部与整体具有相似性。

爆米花函数（Thomae's function）定义：f(x) = 1/q，当x = p/q，p为整数，q为自然数，pq互质。

即x为有理数；f(x) = 0，当x为无理数；其中，q为自然数。

这个和狄利克雷函数比较类似。

答：不存在没有图像的数学函数，只存在画不出图像的数学函数，两者是有区别的。

因为函数的本质，就是集合间的射影关系，对于数学函数，其集合的元素，都是可以在坐标上找到的。

所以一切数学函数的图像肯定存在，至于你画不画得出来，那是另外一回事！一、Dirichlet函数最为著名的，当属狄利克雷（Dirichlet）函数：这是一个处处不连续，处处不存在极限的函数；但它本身也有一些普通函数的性质，比如它是一个偶函数，还是一个周期函数，但没有最小正周期（任意正有理数，都是它的周期）。

狄利克雷函数还可以用极限形式表示为：根据狄利克雷函数，可以变形得到很多，其他画不出图像的函数。

二、皮亚诺曲线除了狄利克雷函数类型的函数外，还有皮亚诺曲线，也是一个比较有趣的函数，我们只能意会它的函数图像。

广义的皮亚诺曲线：自变量x在（0、1]区间取值时，皮亚诺曲线将遍历单位正方形中所有的点，得到一条充满空间的曲线。

皮亚诺曲线可以有很多种定义，但重要的性质是，自变量在“线”上的取值，可以一一对应到“面”上的因变量，甚至任意纬度的空间上。

该函数的本质，是康托尔的超穷数理论中，线上的点可以和任意纬度空间上的点一一对应，因为它们都是不可数集合。

皮亚诺曲线就是一种对应方式，这是一条连续但处处不可导的曲线，函数图像只能意会，不能完全地画出来。

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