数轴

答：有理数和无理数都是无穷多，但是对两者的“势”来说，是无理数多，而且是远远多于有理数。

集合的势：用来度量集合规模大小的量，也就是集合元素的个数，也称作集合的“基数”。

在很长一段时间内，数学家都认为无穷大是不能比较大小的。

直到19世纪，德国数学家康托尔（1845-1918），提出超穷数理论，人们才知道，原来无穷大也是有等级的。

为了比较无穷基数的大小，我们需要用到一个重要的数学概念“一一对应”。

比如平方数和正整数，就可以一一对应，偶数和正整数也可以一一对应。

而康托尔发现，正整数和有理数也是可以一一对应的，但是无理数和有理数无法一一对应。

并提出了著名的康托尔定理：所有集合的子集组成的集合，其基数（y）一定大于原集合的基数（x），并满足y=2^x！其中正整数的势叫做可数基数（b），记作ℵ0（阿列夫零）。

无理数的势叫做不可数基数（c），记作ℵ1。

根据康托尔定理，就有ℵ1=2^ℵ0所以说无理数在数轴上的稠密度，远远大于有理数，也可以说无理数远远多于有理数，如果我们在数轴上随机选一个点，几乎不可能选到有理数。

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先讲一个故事。

从前有个开旅馆的大老板，经营着一家有无穷多个房间的旅馆，他还有一个美丽的女儿。

（人赢啊）。

这家旅馆不仅房间多，质量也高，生意兴隆，有一天晚上竟然所有的房间都住满了。

这时又有一个人来住店，老板心想我总不能让你到无穷远的那间房去吧，于是只得无奈地拿出了“满房”的牌子（他没想到真有一天能用上它）。

正待客人失望地准备离开时，老板美丽的女儿出现了，她对父亲说：“让客人住到一号房去，一号房的客人搬到二号房，二号房搬到三号房，……”这样就把客人安顿下来了。

可这时又来了无穷多名客人，老板又在犯愁，这时女儿说：“让一号住到二号，二号住到四号，四号住到六号……这样就空出了无穷多的房间给他们住。

”这个故事告诉我们，通过一一对应的方法，我们可以比较无穷多元素的个数。

所谓“无穷多个”的房间，即和自然数一样多，每个房间号是1,2,3,4……嘛。

自然数那么多加一个还是自然数那么多，自然数的两倍还是自然数那么多，奇数、偶数都和自然数一样多（实际上我们下面马上证明，自然数的自然数那么多倍还是一样多）。

老板的女儿得意地对父亲说：“即使再来无穷多个这样一波无穷多客人的团队，我也有办法让他们住下。

先像刚刚一样把1,3,5,7……房间空出来，再让第一波客人住到3,3²，3³，……号房，第k波客人住到（2k-1）的幂号客房就可以了。

”如此一来，受到这位美丽姑娘的启发，大数学家康托尔把自然数这么多个无穷的元素称为“可列无穷多个”，并建立了鼎鼎大名的集合论。

集合论用一一对应的方法，证明了实数的个数要远远稠密于自然数的个数，实数个数是“不可列的”。

回到题主的问题，数轴上有理数的个数其实就是自然数的自然数多倍，因为每个有理数都可写为P/q的形式（其中p，q是整数），是可列多个。

而实数分为有理数和无理数，如果实数是不可列多个，而有理数是可列多个，那么无理数当然是不可列多个要远远多于有理数了。

下面我们简要地用康托尔的对角线方法来证明实数是不可列多个。

我们来看这样一个矩阵（你不需要知道矩阵是什么，它就是一堆正整数构成的无穷行无穷列的数表）。

康托尔是考虑0到1之间的实数，每一行对应一个实数，第i行对应的实数是：不按任何规律地去找到所有实数来填这个表。

现在我们要构造一个新的0到1之间的实数让它不属于这个表，那就说明这样的数表不能收纳所有的实数，也就不能像老板聪明的女儿那样“可列”出来了，就能证明实数个数是不可列的。

这个数是这样写出来的，若就让否则就让于是这个数不会与表里任意一个数相同，它不属于这个表。

笔者这样简要地描述当然有许多值得商榷的地方，但康托尔严格建立的集合论已经渗透到数学的各个领域，因为笔者有把握地回答题主：无理数要比有理数多。