无穷

无穷大到底存在不存在？这个问题的答案只能是见仁见智了，我只是来论述一下历史上人们对这个问题所给出的答案。

古希腊时期，具有极高思维水平的哲学家们就开始思考无穷大这个问题，包括巴门尼德，赫拉克里特，芝诺等人，到亚里士多德时代达到了顶峰。

亚里士多德在历史上第一次明确区分了“实无限”与“潜无限”。

实无限认为，无限是一个已经完成了的，实实在在存在着的，可以被当成独立的东西来看待的一个整体；而潜无限则认为，无穷是一个不断延续的，永不停止的过程，因此它不能被当成独立的整体来看待。

比如自然数这个概念，潜无限主义者认为，当我们说“全体自然数”时是没有意义的。

因为我们永远不可能穷尽所有的自然数，每当你写一个自然数，我都可以找到它的下一个自然数(加上1即可)，所以它是一个永远延续的过程，人类理性无法把握“全体自然数”这个概念。

而实无限论者则认为，说“全体自然数”是有意义的，它们整体构成一个集合，而这个集合是存在的，我们可以对这个集合进行各种 *** 作，学过高中数学的我们自然就知道了，它其实就是N。

古希腊哲学家群像亚里士多德只承认潜无限的存在，而随后的人们也在一直围绕着这两个概念展开激烈争论。

不过所有争论都是基于哲学层面的，而真正从数学的意义上思考无穷，则是因为微积分的产生而带来的。

微积分中对无穷小量的处理方式引起了人们巨大的争议，甚至引发了第二次数学危机，为了解决这次危机，人们深刻意识到，必须给无穷下一个精准的数学定义。

经过波尔查诺(Bolzano)，柯西(Cauchy)，魏尔斯特拉斯(Weierstrass)等人不懈的努力，我们终于有了现在高等数学课本上通用的对于无穷大的定义。

柯西(Cauchy，Augustin Louis 1789-1857)一般认为“无穷小量”和“无穷大量”不是某个具体的数字，也不是一个可以参与常规运算的数量，它的本质是一个具有特殊特征的数列。

这里我们就需要运用到数列极限的概念：利用上面这个定义，我们将极限等于0的一个数列称之为无穷小量，因此上面的定义就可以改写成如下形式：比如说，以下数列就是一个无穷小量：1，1/2，1/3，1/4，…当然无穷小量不止一个，以下数列也是一个无穷小量0.1，0.01，0.001，0.001 …遵循相同的思路，我们可以定义无穷大量，它本质也是一个数列：同样无穷大量也不止一个，下面两个数列都是无穷大量：1，2，3，4，…1，10，100，1000，…可以看出用，这种方式来理解无穷，本质上是一种“潜无限”。

因为任何数列都是无穷无尽，永远写不完的。

因此只要你承认数列这个东西存在，那么无穷也是存在的。

当然，上面对无穷小与无穷大的研究是为了使微积分更为严谨的需要，而真正对无穷小与无穷大这两个概念本身从数学的角度来研究的则是德国数学家康托。

康托是集合论的创始人，它运用集合这个工具，给出了无穷大精准的数学描述。

康托是从一个集合所包含的元素的个数，来思考这个问题的。

我们知道，集合分为有限集和无限集，顾名思义，有限集指的就是元素的个数为有限个的集合，无限集指的就是元素的个数为无限的集合。

但其实这两个概念本身目前来看就是有问题的，因为我们现在还不知道无限是什么，那你又怎么能说一个集合包含的元素个数是无限的呢？康托是从两个集合之间的映射来思考的。

我们高中都学过映射，或者也称函数，这个概念：关于映射，我们还需要明确以下几个概念1.如果对于任意两个不同的数a和b，f(a)和f(a)也不同，那么就说f是一个单射(injective)2.f为从A到B的映射，如果对于B中的每一个元素y，都有A中的元素使它作用过来得到y，那么就说f为从A到B的满射(surjective)。

比如y=x³，它既是单射又是R到R的满射。

而y=x²，不是单射，因为1≠-1，但是f(1)=f(-1)，同时它也不是满射，因为对于-1来说，在R里就没有数x使得f(x)=-1。

既是单射又是满射的映射称之为双射(bijective)其实，双射就是我们所理解的一把钥匙开一把锁。

对于两个集合A和B，如果我们可以在他们之间找到一个双射，那么我们就称这两个集合是等势的。

通俗的来讲，就是这两个集合包含的元素个数相同。

比如我上面图中举的两个集合｛1，2，3，4｝和｛2，3，4，5｝，因为他们之间存在一个双射f(x)=x+1。

对于等势的集合，我们用一个符号来表示这些集合的势(cardinality)，通俗的理解就是集合所包含的元素的个数。

比如我们用符号4来表示上面提到的那两个集合的势。

那么我们接下来考虑一个问题，所有自然数的集合｛1，2，3，4，…｝，和所有正偶数的集合｛2，4，6，8，…｝，是否是等势的呢。

很多人的第一印象是，这怎么可能是等势的呢？正偶数集合只包含了自然数集合中一部分的东西，那无论如何它包含的元素个数应该只有自然数集合元素个数的一半呀。

但是康托却给出了一个惊世骇俗的结论：这两个集合包含的个数是一样多！即他们是等势的。

原因很简单，因为我们可以很轻松地在两个集合之间找到一个双射f(x)=2x。

之所以称这个结论惊世骇俗，是因为它打破了我们一个很直观的观念，一半儿竟然和整体是相等的！我们仔细分析一下，这一结论产生的原因是因为我们针对的是无限集，如果是有限集的话，我们就绝对不可能得到这一结论。

比如，我想在｛1，2，3，4｝和｛2，4｝之间找一个双射则是不可能的，这点是由奥数中大名鼎鼎的抽屉原则所保证的。

于是我们就找到了有限集与无限集的一个基本分野，那就是能不能和自己的一部分相等。

我们有如下定义：一个集合，如果它与自己的所有真子集都不等势，则这个集合称为有限集。

不是有限集的集合，称为无限集。

无限集合的势我们称之为无穷大。

以上就给出了无穷大这个概念的定义。

可以看出，自然数集就是一个无限集，实数集也是一个无限集。

那么自然数集所代表的无穷大与实数集所代表的无穷大又是否一样呢？康托给出了答案，二者是不一样的，实数集的无穷大比自然数级的无穷大要高一级。

这就涉及到可数集和不可数集的概念，具体的论证方法不是本文所讨论的内容。

至此，无穷大这个概念在数学上就有了精确的定义。

但是这一套理论明显违背了人们的直觉，因而被当时的许多数学家所反对，其中就包括康托的老师克罗内克。

克罗内克认为所有的数学对象必须是符合直觉的，因此他激烈地反对康托的这一套理论，甚至利用自己的职权对他进行打压，最终竟导致康托精神失常住进了疯人院，这也是数学史上的一大丑闻。

所幸还是有一些人是支持康托的，其中就包括德国大数学家，20世纪初数学领袖希尔伯特(Hilbert)。

我们常常听到的“希尔伯特旅馆”的例子，就是为了阐述康托的这套理论。

关于希尔伯特的旅馆已经有很多文章介绍了，故在此就不再赘述。

1960年代初，另一位德国数学家亚伯拉罕·鲁滨逊提出所谓的非标准分析理论，把无穷小量和无限大量也当成一个具体的数量来看待，当他们加入到实数集中变成广义实数集，从而建立了一套新的数学分析理论。

不管是康托的理论还是鲁滨逊的理论，实际上都是在“实无限”的存在，因此不管无穷大是否是真的存在的，至少在数学里它是存在的，并且为我们很多数学理论提供了基础。

为什么一定要去"理解有人说的话"呢？在意别人的看法是非常累的。