复数的概念及运算

复数(Complex)作为实数的拓展历史悠久, 一度曾被叫做子虚乌有的数(imaginary), 直到十八世纪初经过棣莫弗及欧拉大力推动, 才被数学家们渐渐接受.确实理解复数确实需要一点时间, 不过它并不复杂, 而且利用它还能画出非常美丽的变换和分形图形, 这次让我们用图形可视化的方式来拥抱这个概念.复数, 作为实数理论的延伸先来看看在实数轴上两个数的加减乘除这 4 种运算. 观察到红蓝两个点(数), 在不同的计算下, 其结果(绿点)的变化, 不管数怎样变化, 都总还落在数轴上(除法分母为 0 时候, 当然没有意义).再来看下图中, 任何实数乘以 -1 的结果都会落在关于原点对称相应的位置上. 所以乘以 -1 的计算可以理解为该点(数)绕着原点旋转了半圈.数学家进一步思考, 既然乘以 -1 是转动 180°, 那么只转动了 90° (比如整数 1 )落在哪里? 有什么意义呢?进入新的二维复数平面这是19世纪数学史上非常重要的一步, 现在不在是在一维的实数轴上, 而是进入了二维的复平面.考虑到转动两个 90° 会刚好到 -1. 所以认为 -1 的平方根是相应于 1 的一个 90度的旋转(也就是 1*i*i=-1), 这样在平面上与实数轴垂直的单位线段, 称为是 1 个虚数单位 i . 于是有着性质:这个没在实数轴上奇怪的点实际上落在复数平面(complex plane, 或称为阿尔冈平面)上了, 所有在复平面上的数都满足 z=a+b i 这样的结构, 称之为复数. 其中a 称为实部(real part), b 为虚部(imaginary part). 如下图 1+2i 复数, 1 和 2 是实数, i 是虚数单位, 这样的复平面几何表示如下图所示:现在来看直角坐标平面是二维的, 需要两个数(x,y)来描述任意一点的位置, 但现在用一个复数就够了, 可以用实数组(a,b)代表这个复数, 并且可以在复平面上绘制出来. 不过请记住这里应该将每个这样的点看做一个复数, 而不是一对实数.还有三个新概念需要知晓:复数的模(modulus, 通常写为 |z|) : 模就是它长度 r: 从原点到 z 点之间的距离辐角(argument, 通常写为 arg(z)): 辐角 φ 就是与实轴的夹角复数的共轭(conjugate,通常写为 ¯z): 共轭就是 a-b i 的形式观察下图可以更好理解上述三个概念:复数的运算 *** 作复数有如何运算, 比如可以两两相加, 也就是两个复数实部和虚部分别对应相加, 可以看成是平移的 *** 作.复数也可以有数乘运算, 就是对模的放大或缩小了:复数的乘法, 就如上面所述, 数乘以 i 相当于这个转动 90°:z1*z2 两个复数相乘其实就是旋转+伸缩两种变换, 也就是两个复数的模相乘(伸缩大小), 辐角相加(旋转量).如果对图片中的每一点做复数运算的变换, 可以得到各种有趣的平面变换图像. 这里为了纪念欧拉大神, 就以他老人家头像为例, 比如做乘以 2 i 的函数变换 - 旋转 90°, 同时放大了2 倍的变换; 另一个变换函数为三次方, 你也可以思考为什么会变成这个形状呢? :-) 最美的数学公式 - 欧拉公式复平面内的点可以转成极坐标(不清楚可查看这里)的形式 (r,θ), 那么该点所表示的复数是什么呢？可用 x = r cos(θ) 和 y = r sin(θ) 来转化到笛卡尔坐标. 所以极坐标 (r, θ) 表示复数z = x + iy = r cos(θ) + i r sin(θ).特别的, 如果 r = 1, 则 z = cos(θ) + i sin(θ).形如 r e^(i θ) 的复数为极坐标形式, 并且与之相对的 x+iy 为笛卡尔形式. 1743 年, 瑞士数学家欧拉给出了著名的欧拉公式, 对所有实数 θ 都成立:特别当 θ=π 时，欧拉公式的特殊形式更是被评为数学上最美的公式:这个简洁公式包括了 5 个数学上最重要的常数: 0, 1(自然数的基本单位), e(描述变化率的自然指数), π 以及 i(虚数的基本单位).我们可以很快用几何的方法来证明该等式, 观察下图不同的 θ 值对应的极坐标 e^θ, 请留意动画停顿之处(特别是在复平面旋转角度为 180°, 点落到等于 -1 的时刻), 相信就会理解上面的欧拉等式:参考资料:阿德里安·班纳, 《普林斯顿微积分读本》(修订版)https://betterexplained.com/articles/a-visual-intuitive-guide-to-imaginary-numbers/维基百科(完) [遇见数学] 制作

（小石头来尝试着回答这个问题）复数出现的原因，大家都知道，是为了让方程：有解。

为了达成这个目的，我们需要寻找一个新的数字 i，使得 i² = -1 ①，并且 i 还可以参与四则运算（加、减、乘、除）。

显然，这个 i 不是一维直线（记为 ℝ）中的任意实数，于是 将眼光 投入 二维平面（记为 ℝ²）中的某个向量 a = (x, y)。

为了让 a 看起来像是一个数字，从而可以作为 i 的候选者，我们需要让 向量 具有类似数字的四则运算的能力。

在《解析几何》中，已经定义有向量的加法（设，b =(u, v) ∈ ℝ²），a + b = (x + u, y + v)然后，利用 向量的数乘（设，λ ∈ ℝ)，λa = (λx, λy)可以定义 a 的负数，-a = (-1)a而减正就是加负，a - b = a + (-b)关于向量的乘法，在《解析几何》中 定义有，点乘（内积）：a⋅b = xu + yv叉乘（外积）：a×b = (xv - uy) k （k 是 垂直于 平面 ℝ² 的 单位法向量）观察 实数 ℝ 中的乘法，有 a,b ∈ ℝ ⇒ ab ∈ ℝ，这称为运算的封闭性。

而，显然 点乘（结果是实数 ∈ ℝ） 和 叉乘 （结果是三维向量 ∈ ℝ³） 都不具有 封闭性，不能当做向量乘法！不过，我们可以结合 点乘 和 叉乘，尝试定义向量乘法：ab = (a⋅b, a×b⋅k) = (xu + yv, xv - uy) ②这个定义具有封闭性，如果，还能在该定义下，找到 满足要求 ① 的 向量 i，那么我们就可以正式采用这个定义了。

我们不妨将 平面中的 X轴 设为 ℝ，这样 任意 实数 a 就对应 向量 (a, 0)，即，a = (a, 0)其中，-1 = (-1, 0)另一方面，因为 i 不属于 X轴，所以 可以考虑 让 i 属于 Y轴，于是 i 与 Y轴 中的 某个点 (0, b) 对应，即，i = (0, b)使用 乘法定义②，再结合对于 i 的要求 ①，有，i² = ii = (0, b)(0, b) = (00 + bb, 0b - b0) = (b², 0) = (-1, 0) = -1显然，还是因为 b² ≠ -1，使得 在 ② 下 没有满足 ① 的 b，于是，我们需要对 定义 ② 进行改进。

其实，我们仅仅需要交换 ② 中的 加减号位置，即，ab = (xu - yv, xv + uy)就可以，得到：i² = (00 - bb, 0b + b0) = (-b², 0) = (-1, 0) = -1这时，由 -b² = -1 ，解的 b = ±1，OK！不妨设 i = (0, 1) ，于是 我们找到了满足 ① 的 i，这说明，调整后的定义有效，我们把它作为乘法的定义！若，令 ā = (x, -y) 则，乘法定义为：ab = (xu - yv, xv + uy) = (xu + (-y)v, xv - u(-y)) = (ā⋅b, ā×b⋅k) ②'这里 ā 和 a 关于 X 轴对称，称 ā 为 a 的共轭。

注：很容易 从 共轭 得到 a 关于 Y轴的 对称 (-x, y) = -(x, -y) = - ā 。

有了乘法定义，我们就可以定义除为乘以倒数，即：a/b = ab⁻¹倒数 a⁻¹ 具有性质：aa⁻¹ = 1而，aā = (x² + y², xy - yx) = (x² + y², 0) = x² + y² = a⋅a可见，a⁻¹ = ā/(a⋅a)到这里，ℝ² 中的 向量 就具有了 四则运算能力，可以当做数字，称为 复数，同时，将 ℝ² 记为 ℂ，称为复平面，X 轴依然称为实轴，其中的点 就是 实数，而把 Y 轴称为 虚轴，其中的点 称为 虚数。

在数学上，ℝ² 也称为欧氏（向量）空间，其中向量本来就具有 加减运算，而 除法是乘法的逆运算，因此，以上 让其 变为 ℂ 的 主要工作是定义乘法，故，我们有，小结论： 复数的本质就是定义了乘法的欧氏空间 ℝ² 中的向量。

对于 ℂ 中的任意 复数 z = (x, y)，利用前面推导的结论，有，z = (x, y) = (x + 0, 0 + y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (y0, y1) = (x, 0) + y(0, 1) = x + yi这就是，我们熟悉的 复数一般表示，i 称为 虚单位。

其中，x 和 y 分别称为 复数 z 的 实部 和 虚部，有，x = Re(z) = (z + ż)/2y = Im(z) = (z - ż)/(2i)注：其实，1 = (1, 0) 和 i = (0, 1) 是 ℂ = ℝ² 的一组标准正交基，任何 一个 复数 z = (x, y) 都可以线性表示为：z = x1 + yi = x + iy这说明，复数一般表示，就是向量的线性表示。

将 复数 z 对应 向量 的长度 称为 复数 的 模，记为 |z| = √(z⋅z) = √(x² + y²) ，将 向量 和 X 轴正方向 的 夹角，称为 辐角，记为 Arg(z)。

若，令，r = |z|, θ = Arg(z) ，则 z 为：z = r(cos θ, sin θ)= r(cos θ + i sin θ) ③这就是 复数的 三角表示。

又设， w = s(cos φ + i sin φ) 则，根据《三角学》知识 有，zw = (r(cos θ + i sin θ) )(s(cos φ + i sin φ) ) = (rs)(cos θ cos φ - sin θ cos φ, i(cos θ sin φ + sin θ cos φ) = (rs)(cos( θ+φ) + isin(θ+φ))可见，复数乘法的 几何意义是 ④：模相乘，辐角相加。

另一方面，根据《高等数学》迈克劳林公式：有，进而，得到 欧拉公式：再和 ③ 处连等，有，这就是 复数的 指数表示。

验证，乘法：依然符合 结论 ④。

于是，我们得到 结论：复数的本质就是 欧氏空间 ℝ² 中的向量，定义了，模相乘辐角相加，的乘法 从而 升级而成的数字。

复平面 ℂ 本质就是 欧氏空间 ℝ² 中定义了 乘法运算， 实单位 1 = (1, 0) 和 虚数单位 i = (0, 1) 本质是 ℂ 的 标准正交基，复数 z = x + yi 本质就是 向量的线性表示。

最后，回到开头，复数的出现，使得：（一元）多项式方程，必然存在 一个复根这就是 代数基本定理。

（这是一个开放性问题，不同的人对复数的本质有不同的理解，数学家会给出非常深奥的答案，而小石头只能在数学的浅滩潦草的勾勒一些浮沙，大家见笑了！各位聪明的条有大家有什么高见呢？）注：更深奥的答案是存在的，比如，称 ℂ 为复数域，它是 实数域 ℝ 的 扩域，是 一个代数闭域。