自然对数的底数

自然常数由18世纪的大数学家欧拉推广开来，所以这个数又被称为欧拉数，用字母e表示。

e在数学中非常重要，通常会用到以e为底的对数，所以这个数又被称为自然底数。

自然常数e源自银行对复利的计算。

假如你有1元钱存在银行里，银行的年利率为100%。

那么，在一年后，你的资产将变为(1+1)^1元=2元。

如果银行换一种利息计算方式，半年结算一次利息，并且半年利率为50%。

那么，在一年后，你的资产将变为(1+0.5)^2元=2.25元。

如果是每个月结算一次利息，并且月利率为1/12。

那么，在一年后，你的资产将变为(1+1/12)^12元=2.61元。

如果是每天结算一次利息，并且天利率为1/365。

那么，在一年后（不考虑闰年），你的资产将变为(1+1/365)^365元=2.71元。

可以看到，利息的结算周期越短，最终回报越多。

观察规律可得，这种利息的计算通式为(1+1/n)^n。

既然利息结算周期越短收益越多，那么，如果每时每刻都在结算利息，即n趋于无穷大，最终的收益会是多少？也会变得无穷大吗？事实上，当n趋于无穷大时，(1+1/n)^n等于一个常数，其大小为2.7182818284…。

于是，人们就把这个常数定义为自然常数。

数学家证明，自然常数是一个无理数，同时也是一个超越数（不能用整系数代数方程来表示的实数）。

根据上述结果，e的表达式可写成：此外，e还可以用无穷级数表示：项数取得越多，越接近e的真实数值。

虽然自然常数没有圆周率广为人知，但它实际也被应用于诸多问题，例如，生长或衰变速率、概率问题、质数分布等等。

很多自然变化规律都是遵循以自然常数为底的指数函数，正因为如此，这个数被冠之以“自然常数”。

答：自然对数e的数学定义，前面的回答者已经说得很清楚了，我来讲一下他的历史来源吧，自然对数e和航海时代分不开。

要想了解自然对数的发现史，我们需要来到15世纪末，如果你还记得大型纪录片《大国崛起》，应该记得第一集讲的《海洋时代》西班牙和葡萄牙的崛起。

这时候，航海遇到一个非常大的难题，就是在海上如何确定所在经度（维度很容易测量，指南针指向和太阳升起的夹角就能计算维度），英国也遇到了同样的难题，还专门成立了格林尼治天文台，来专门研究海上的精度确认问题，如今这是本初子午线的划分地。

几个海洋国家，历经100多年的研究，都没有很好的办法在海上确认经度，以致无数航海家在大海中迷失方向，然后葬身海底。

最终，他们把希望寄托于天文学家，因为星空就是上帝创造的最佳路标，这使得天文学事业蓬勃发展，近代实验科学奠基人——伽利略，也加入了其中，但天文学家都遇到了一个非常大的难题，天文学引出大量复杂计算，大多和指数相关，这耗尽了天文学家大量时间，有时候就为了一个结果，甚至会耗费几个月的时间，以致伽利略说道："给我空间、时间和对数，我就能创造宇宙"。

这激起了数学家们，对指数算法的研究，算法学家意识到，指数的逆运算有着奇特的性质，即对数运算：loga^b=bloga，log（a*b）=loga+logb；复杂的指数运算，居然可以转化为相应对数的乘法，甚至乘法也可以转化为加减法运算，这能大大降低计算的复杂度，也将产生一个重要的计算工具——对数表。

我们只需要编制一个对数表，就可以简化实际中遇到的任何复杂运算，，比如我们需要计算1.1234^1.6789的值……我们只需要编制一个对数表，就可以简化实际中遇到的任何复杂运算，比如我们需要计算1.1234^1.6789的值（当然，现在有计算器，我们无需去做这种无意义的存计算）；常规方法很难处理，如果我们有指数表的话，只需要查询log1.1234=0.091491，计算log1.1234^1.6789=1.6789log1.1234=0.153604；然后用对数表，反向查询0.153604对应对数值，那么1.4243就是我们需要的结果，即1.1234^1.6789=1.4243.这样就把十分复杂的指数运算，转化成相对简单的乘法运算，如果你还觉得复杂，你甚至可以进一步把乘法转化成加法运算。

数学家进一步的研究，发现该对数表有两个特点：1、 我们运算的结果不依赖于对数表所取底数值，但是底数值的选取，决定了对数表的编制难度；2、 任何指数和乘方运算，都可以转化成0～1之间的对数运算，所以我们需要6位精度的运算，只需要编制0.000001～0.999999的对数表即可。

数学家首先想到的，当然就是10为底的对数，但这会遇到什么问题呢？看下表：以10为底，在没有计算器的年代编制对数表，计算的a值好像并不简单，涉及10的非整数次方。

不过数学家有办法解决，利用指数运算的性质，如果我们使用10^10000作为底数，就不会出现非整数次方了，如下表：但另外的问题出现了，随着对数值b的增大，我们得到a的值将以指数增加，相邻值间的距离太大，比如b=0.2017时，a的值将达到10^2017，这是很糟糕的结果。

那有没有处理办法呢？显然对于底数为m^n，n取得越大，越利于后面的计算，要使得计算结果不要太大，就要减小m的取值，但m不能无限小，m要在1附近，这样以（m^n）作为底数，才能使得对数值在合适范围内，比如底数取0.999999或者1.000001。

那么对底数的选取，就转化成（1+m）^n，进一步研究还能发现，如果m和n互为倒数，可以进一步简化计算，那么对底数的选取，就成了这种形式：其中n取得越大越，对数表的精度越高，比如计算底数为（1+0.00001）^10000值为0.2017的对数，就成了计算1.00001^2017的值，如果你记得指数运算的一个技巧的话，你可以很快知道，这个值大约为1+0.0001*2017=1.2017,实际上这个值是1.2235,两者相对误差是2%，我们仅凭心算就得到了如此高的精度。

而对于算法学家来说，每增加一个误差项就可以进一步提高精度，直到满足自己需求为止，看来我们的路是走对了。

看到这里，大家是不是看出了自然对数的影子！如果有人觉得，这时候提出自然对数应该是理所当然的，那么他肯定是把中学生的"理所当然"和婴儿的"理所当然"弄混淆了。

1614年，英格兰数学家纳皮尔（John Napier,1550～1617）出版了《奇妙的对数定律说明书》，书中他首次提出对数概念，并编制了史上第一张对数表，他使用的底数就是（1+1/10^7）^10^7。

过了2年（1616），伦敦的另外一位数学家布里格斯（Briggs Henry，1561-1630），特意来拜访纳皮尔，给他的对数表改进提了建议，可惜的是纳皮尔第二年（1617）就去世了，不过布里格斯继承了纳皮尔的工作，他把纳皮尔对数表的底数改成了10，并制作了精度达14位的对数表，这也耗费了他8年的时间。

到了这里，其实我们离自然对数的提出，还差100多年呢！期间虽然有其他数学家看到了自然对数的影子，但没有谁能抓住那影子。

比如牛顿在1665年对1/（1+x）的二项式展开中，首先得到了自然对数的级数；莱布尼兹在1690年给惠更斯的信中，也提到了这个常数，莱布尼兹用b表示；但他们对这个数的认识还不够深。

直到17世纪，瑞士数学家欧拉，才看穿这个常数的秘密，1730年，欧拉正式定义了自然对数，指出指数运算和对数运算互为逆运算，并用e来表示自然对数，推广了e的使用，所以自然对数也叫做"欧拉常数"。

至此，自然对数登上数学大舞台！人们随后才发现什么复利计算，什么自然增长……居然和这个常数密切相关，其地位也和圆周率不分上下。

好了，我的答案就到这里，内容取自我之前的两篇文章《自然对数的发现史！e何称欧拉常数？原来它的发现历经200多年！》和《自然对数的发现史！伽利略：给我空间、时间和对数，我能创造宇宙》。

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