圆周率的计算公式

欧几里德的《几何原本》里有公理：过一点以某个半径可以做一个圆。

根据相似形可知任何一个圆的周长与直径的比都是一个常数，把这个常数称为圆周率π。

这个常数是一个无限不循环小数，即无理数。

从古希腊时代开始，由于科学研究和工程技术的需要，圆周率的计算就一直没有停止过。

直到今天，圆周率依然是检验计算机计算能力的方法之一。

日本某个无聊的出版社居然出了一本一百万位的圆周率的书《円周率1000000桁表》，全书只有一个数字：π如果使用一根软绳测量圆的周长，再除以圆的直径，只能得到圆周率大约等于3的结果，更加精确的结果只能依赖计算。

现代圆周率计算的方法很多，本文只介绍历史上最早计算圆周率的三个人物：阿基米德、刘徽和祖冲之。

阿基米德阿基米德是最早得出圆周率大约等于3.14的人。

传说在他临死时被罗马士兵逼到一个海滩，还在海滩上计算圆周率，并且对士兵说：“你先不要杀我，我不能给后世留下一个不完善的几何问题。

”阿基米德计算圆周率的方法是双侧逼近：使用圆的内接正多边形和外切正多边形的周长来近似圆的周长。

正多边形的边数越多，多边形周长就越接近圆的边长。

阿基米德最终计算到正96边形，并得出π约等于3.14的结果。

阿基米德死后，古希腊遭到罗马士兵摧残，叙拉古国灭亡，古希腊文明衰落，西方圆周率的计算从此沉寂了一千多年。

刘徽阿基米德死后五百年，中国处于魏晋时期，著名数学家刘徽将圆周率推演到小数点之后四位。

他在著作《九章算术注》中详细阐述了自己的计算方法。

刘徽的算法与阿基米德基本相同，但是刘徽提出了正N边形边长Ln与正2N边形边长的递推公式。

设圆的内接正N边形的变长为Ln，如图中AB所示。

将正N边形变为正2N边形，边长如图中BD所示。

由此可以得到递推式：又因为正六边形L6=1，可以得到L12，L24，L48...刘徽最终计算到了3072边形，得到圆周率的值祖冲之又过了两百年，中国数学家祖冲之横空出世。

祖冲之使用“缀术”将圆周率的值计算到小数点后第七位，指出：这个结果直到一千多年后才被西方超越。

但遗憾的是，“缀术”到底是什么方法，已经失传，至今仍是千古疑案。

华罗庚等科学家认为：祖冲之的方法仍然是割圆法，但是如果要得到这个精度，需要分割到24576边形，从正六边形出发，还需要迭代刘徽的公式12次，而且在每次迭代的过程中，必须保证足够多的有效数字，否则就会影响到最后的结果。

祖冲之通过什么神奇的方法保证了计算的准确？至今仍是一个谜。

另外，小时候看了一个故事， 很久以前，有位教书先生，整日里不务正业，就喜欢到山上找庙里的和尚喝酒。

他每次临行前留给学生的作业都一样：背诵圆周率。

开始的时候，每个学生都苦不堪言。

后来，有一位聪明的学生灵机一动，想出妙法，把圆周率的内容与眼前的情景（老师上山喝酒）联系起来，编了一段顺口溜： 山巅一寺一壶酒（3.14159）尔乐苦煞吾（26535）把酒吃（897）酒杀尔（932）杀不死（384）乐尔乐（626）

比较早的系统的圆周率计算方法，是刘徽的“割圆术”通过计算正多边形周长和圆半径的比值，来计算圆周率。

工作繁琐，效率低下。

祖冲之父子割出来了6万多边形，也只算到7位。

之后出现了级数法，例如莱布尼茨级数：π/4=1-1/3+1/5-1/7+1/9……马青公式：π/4=4（1/5-（1/5）³/3+（1/5）^5/5-(1/5)^7/7+……）+（1/239-（1/239）³/3+(1/239)^5/5-(1/239)^7/7+……）但收敛速度都比较慢。

表现比较好的，这个马青公式，算到了137位。

现代计算机，则常用高斯-勒让德法。

收敛很快，迭代十几次就能算出上千万位。

很给力。

也有很神奇的BBP法，可以直接算特定位上的π值。

这个公式经常用来验证π的计算是否正确。

圆周率是无理数，这一点也是有严格证明的。

当然，如果你愿意，也可以定义一个“π进制”这里用方括号表示不同进制。

比如(10)[2]，就是2进制下的10，也就是十进制下的2.在π进制里：(10)[π] = (π)[10];(1)[π] = (1)[10];(100)[π] = (π^2)[10];但是计算起来就巨麻烦，也很少有人会用这个来讨论。