因数和倍数的意义

对于这两个小学概念，看起来很简单，但要真的说清楚，还是要费些事，尤其当涉及到0这个东西的时候。

下面是一个尝试。

（1）两个整数之间有很多种关系，比如大小关系，相等关系，整除关系，等等。

因数和倍数就是用来反映两个整数之间的整除关系的概念。

比如两个整数3和12，因为12能被3整除，那么我们就称12是3的倍数，3是12的因数。

（2）特别的，考察1和任意整数之间的整除关系（-1类似）因为任何整数都能被1整除，所以1是任何整数的因数，任何整数都是1的倍数。

反之，除了1和-1，1不能被其他任何整数整除，所以1和-1是1的因数，1是它们的倍数。

（3）再特别的，考察0和任意整数的整除关系0能被任意整数整除么？显然，因为0不能作为除数（为什么？可以适当演示推理给学生理解这一点，而没必要灌输记忆），所以，0能被任意非0整数整除，即任意非0整数是0的因数，0是任意非0整数的倍数；任意整数能被0整除么？同样按整除的定义，因为0不能作为除数，所以这个都不成立，从而，0不是任何整数的因数，任何整数都不是0的倍数，包括0自身。

比较好的教学方法是，教师在讲解完（1）后，稍作些练习巩固下，然后对于（2），（3），可以先让孩子们推理（2）的结果，然后反馈讲解后，再让孩子们自己推理（3）的结果，再最后反馈讲解。

不要一下子把（1），（2），（3）都直接讲完。

数学教学的关键在于牢牢把握住数学大厦建筑的根基，即从基本的概念，定义，法则出发，借助推理演绎的武器，层层建构而成，逻辑严谨。

教学过程中要尽量体现出这一点，从而通达于思维。

这是五年级下册的内容，书上给的定义是像12÷3=4这样的算式，能整除。

我们把12叫做3和4的倍数，反过来3和4都是12的因数。

（教科书明确说明因数与倍数不包括0），在后面特别规定0是偶数。

或者用乘法算式表达也可以，例如：2×6=12，2和6叫做12的因数，反过来12是2和6的倍数。

一个数的因数个数是有限的，倍数个数是无限的。

一个数最小的因数是1，最大的因数是本身，最小的倍数是本身，没有最大的倍数。