阿基里斯悖论

这个问题是很有意思的。

虽然说这个问题只要用微积分就可以很简单的解释，但是如果一定要从物理学的角度来分析个所以然出来（就是不通过公式化的计算结果来显式表达阿基里斯追上乌龟的必然性），还是有一些困难的。

我觉得可以有两个思路，一个思路别的答主已经回答了，就是阿基里斯和乌龟之间的距离一旦小于一个确定的值之后就可以认为他们已经在同一位置了，即距离无限可分的假设在物理学上是不存在的。

但是这个说法如果放在质点动力学里面依然不能够解决这个悖论，因为简化后的两个质点是应该服从实数致密理论的，所以现实中的普朗克长度对距离分割的约束不存在。

第二个思路是我自己想的，也算是跟大家讨论讨论。

首先，“阿基里斯跑的比乌龟快”这个说法一定要有一个明确的定义，这个定义对我们来说应该是解决这个悖论的关键。

当然，这里一定不能简单说，“阿基里斯的速度是A，乌龟的速度是B，因为A>B所以阿基里斯的速度比乌龟快”，而是要用另外一种表述方式来描述这个概念：在任意一段时间t>0内，阿基里斯可以比乌龟多跑距离为S>0。

当然，因为这里没有规定t究竟是不是无穷大，所以不能直接得证阿基里斯可以用一段时间t追上距离自己为S的乌龟。

然后我们一步步推理出来阿基里斯可以追上乌龟（这些证明我不去慢慢做了，大家可以自己想一想）：1，如果t1>t2，那么S1>S2；2，如果有S足够小，那么t一定是有限的（如果对于所有的有限的S，均有t有限，那么命题是显然得证的；否则，一定有一个S0>0，对于任意的S<S0，有t为有限值）；3，假设阿基里斯初始距离乌龟的距离D<S0，那么阿基里斯显然可以追上乌龟，命题得证；如果D>S0，那么经过阿基里斯悖论里面的假设的那种跑法，总有一次阿基里斯跑到乌龟上一次所在位置的时候，距离乌龟小于的距离Dn<S0，命题得证。

而这种证明方法的最终想要说明的是，只要阿基里斯距离乌龟的距离足够小，那么阿基里斯相对乌龟运动的趋势就会使阿基里斯在下一个瞬间超过乌龟。

无论悖论里怎么强调阿基里斯在一个时刻只能够追上乌龟上一次所在的位置，这种相对运动的趋势都是存在的，因为阿基里斯比乌龟快这个基本假设就已经完全的肯定了这种运动趋势，并且这个趋势可以在阿基里斯和乌龟足够近的时候用一个有限的时间让阿基里斯超过乌龟。

这个有限的时间可以是任意短，但是无论这个时间怎么短，都不影响阿基里斯可以追上乌龟的结论。

实际中的对话就是这样的：一个支持阿基里斯的人说：阿基里斯哪怕距离乌龟只有一步，他也永远不可能追上乌龟。

你问他：因为阿基里斯跑的比乌龟快，所以你要告诉我一个时间，这个时间里阿基里斯可以比乌龟多跑一段距离。

他回答：那就是要一年才能够比乌龟多跑一厘米远。

你回答他：那就按照你说的那种阿基里斯追乌龟的跑法，用有限的时间距离乌龟只有一厘米，然后用一年的时间追上乌龟。

他回答：那就要一亿年才能够比乌龟多跑一厘米远。

你回答他：那就按照你说的那种阿基里斯追乌龟的跑法，用有限的时间距离乌龟只有一厘米，然后用一亿年的时间追上乌龟。

他回答：那就要十万亿年才能够比乌龟多跑一个分子那么远。

你回答他：那就按照你说的那种阿基里斯追乌龟的跑法，用有限的时间距离乌龟只有一个分子那么远，然后用十万亿年的时间追上乌龟。

……总之，无论他怎么回答你，你都可以证明阿基里斯可以追上乌龟了。

这也就解释阿基里斯悖论。

这其实是用极限的概念在解释物理上的运动，实际上阿基里斯悖论和飞矢不动同为芝诺悖论，就是用一种静止的观念看运动，去得到一个“运动是不可能的悖论”，但是事实上不是这样，只要同样用极限的概念把运动描述清楚了，阿基里斯悖论自然而然的就解决了。

希望我把这个问题说清楚了。

被题主的提问雷到了，这是个数学问题，题主却要求用物理学的观点来解释。

要知道数学是物理的基础，题主的提问是不是有些外行呢？就算勉强用物理解释，还是绕不开数学方法的。

下面我试着回答一下。

所谓的罗素悖论告诉了我们极限的两个性质：1、所有正无穷大是相等的。

2、正无穷大可以是不相等的。

这与阿基里斯悖论同出一辙。

看到这里很多人的脏话已经脱口而出了，其实这正是罗素悖论的魅力所在。

下面我分别解释一下。

1、所有正无穷大是相等的，是指所有正无穷大从总数量来说，是一样的。

有实数集R，自然数集n，我有R元钱和我有n元钱，效果完全一样。

2、正无穷大可以是不相等的，是指抛开极限总数量的内涵，而截取其一部分相比而得到的结果。

比如0到2之间的自然数和实数分别有1个和无穷个，1当然不如无穷大了。

我们可以把极限的这种性质映射到速度、时间和距离的关系上。

对于速度不同的两个物体，不限时间的话，都能到达无穷远，任意大的距离两者都能达到，所以是相等的。

但限定了时间的话，速度快的走得较远。

套用阿基里斯悖论时，对此关系作一下变形：相同的路程，速度快的用的时间少。

在阿基里斯悖论中，将距离作了无限小的划分。

在每一个距离上，速度快的用的时间少，它用节约出来的时间，又前进了一段距离。

将额外前进的这些距离相加，即可得出二者相遇的地点。