05年考研数学一

05年考研数学一 求05年以前的考研数学一真题和答案求05年到15年的历年的数学一平均分（考研）求05年以前的考研数学一真题和答案2005年考研数学1第16题

dx 2 dx + C ] = 1 ? [ x 2 ln xdx + C ] x2 ∫ 1 1 1 x ln x ? x + C 2 ， 3 9 x 1 1 1 由 y (1) = ? 得 C=0，故所求解为 y = x ln x ? x. 9 3 9 （ 3 ） 设 函 数 u ( x, y , z ) = 1 + r x2 y2 z2 1 + + ，单位向量 n= {1,1,1} ， 则 6 12 18 3 ?u ?n (1, 2 , 3 ) = 3 . 3 r 【分析 函数 u(x,y,z)沿单位向量 n = {cos α , cos β , cos γ }的方向导数为： 分析】 分析 ?u ?u ?u ?u = cos α + cos β + cos γ ?n ?x ?y ?z 因此，本题直接用上述公式即可. 【详解 详解】 因为 详解 ?u x ?u y ?u z = ， = ， = ，于是所求方向导数为 ?x 3 ?y 6 ?z 9 ?u ?n (1, 2 , 3 ) = 1 1 1 1 1 1 3 ? + ? + ? = . 3 3 3 3 3 3 3 x 2 + y 2 与半球面 z = R 2 ? x 2 ? y 2 围成的空间区域，∑ 是 设 （4） ? 是由锥面 z = ） ? 的整个边界的外侧，则 ∫∫ xdydz + ydzdx + zdxdy = 2π (1 ? ∑ 2 3 )R . 2 【分析 分析】本题 ∑ 是封闭曲面且取外侧，自然想到用高斯公式转化为三重积分，再用球 分析 面（或柱面）坐标进行计算即可. 【详解 详解】 详解 ∫∫ xdydz + ydzdx + zdxdy = ∫∫∫ 3dxdydz ∑ ? =3 ∫ R 0 ρ 2 dρ ∫ 4 sin ?d? ∫ dθ = 2π (1 ? 0 0 π 2π 2 3 )R . 2 （5）设 α 1 , α 2 , α 3 均为 3 维列向量，记矩阵 ） A = (α 1 , α 2 , α 3 ) ， B = (α 1 + α 2 + α 3 , α 1 + 2α 2 + 4α 3 , α 1 + 3α 2 + 9α 3 ) ， 如果 A = 1 ，那么 B = 2 . 【分析 将 B 写成用 A 右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即 分析】 分析 可. 【详解 详解】 由题设，有 详解 B = (α 1 + α 2 + α 3 , α 1 + 2α 2 + 4α 3 , α 1 + 3α 2 + 9α 3 ) ?1 1 1? ? ? = (α 1 , α 2 , α 3 ) 1 2 3 ， ? ? ?1 4 9? ? ? 1 1 1 于是有 B = A ? 1 2 3 = 1 × 2 = 2. 1 4 9 （6）从数 1,2,3,4 中任取一个数，记为 X, 再从 1,2, L , X 中任取一个数，记为 Y, 则 ） P{Y = 2} = 13 48 . 【分析 本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式, 且第一次试验的各种两两互 分析】 分析 不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分. 【详解 详解】 详解 P{Y = 2} = P{ X = 1}P{Y = 2 X = 1} + P{ X = 2}P{Y = 2 X = 2} + P{ X = 3}P{Y = 2 X = 3} + P{ X = 4}P{Y = 2 X = 4} = 1 1 1 1 13 × (0 + + + ) = . 4 2 3 4 48 二、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一 选择题 项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （7）设函数 f ( x ) = lim n 1 + x ） n →∞ 3n ，则 f(x)在 (?∞,+∞) 内 (A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点. (C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ 【分析 先求出 f(x)的表达式，再讨论其可导情形. 分析】 分析 【详解 详解】 当 x < 1 时， f ( x ) = lim n 1 + x 详解 n →∞ 3n C ] =1； 当 x = 1 时， f ( x) = lim n 1 + 1 = 1 ； n →∞ 当 x > 1 时， f ( x ) = lim x (

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